৮ম শ্রেণি গণিত অধ্যায় ৪ বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও প্রয়োগ অনুশীলন ৪.৪ সমাধান 2026

অষ্টম শ্রেণি গণিত অধ্যায় ৪ বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও প্রয়োগ অনুশীলন ৪.৩ সম্পূর্ণ সমাধান

বীজগণিতের চতুর্থ অধ্যায়ের শেষ এবং অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ অংশ হলো গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু) এবং লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু)। উৎপাদকে বিশ্লেষণের জ্ঞান কাজে লাগিয়ে কীভাবে একাধিক রাশির মধ্যে সাধারণ বা কমন অংশ খুঁজে বের করতে হয়, তা এই অধ্যায়ে আলোচনা করা হয়েছে। নিচের গাইডে আমরা পাঠ্যবইয়ের পৃষ্ঠা ৭০ ও ৭১-এর একক কাজ থেকে শুরু করে অনুশীলনী ৪.৪-এর বহুনির্বাচনী ও সৃজনশীল প্রশ্নসহ (১-২০) সবকটি অংকের নির্ভুল সমাধান দিয়েছি। প্রতিটি অংকের লজিক বা যুক্তি সাইড নোটে সহজ করে বুঝিয়ে দেওয়া হয়েছে। চলো, সমাধানগুলো দেখে নেওয়া যাক।

📌 সূচিপত্র: যে সমাধানে যেতে চান ক্লিক করুন

• 👉 পৃষ্ঠা ৭০ এর কাজ (গ.সা.গু.)
• 👉 পৃষ্ঠা ৭১ এর কাজ (ল.সা.গু.)
• 👉 অনুশীলনী ৪.৪ (MCQ ১-৫)
• 👉 সৃজনশীল প্রশ্ন ৬ ও ৭
• 👉 প্রশ্ন ৮ (ক - ঙ) এর সমাধান

পৃষ্ঠা ৭০ এর কাজ

১. 15a³b²c⁴, 25a²b⁴c³ এবং 20a⁴b³c²

সমাধান:

সাংখ্যিক সহগগুলোর গ.সা.গু.:

• 15, 25 এবং 20 এর গ.সা.গু. হলো 5।
• (কারণ 5 দিয়েই তিনটি সংখ্যাকেই ভাগ করা যায়)

বীজগাণিতিক প্রতীকগুলোর গ.সা.গু.:

• a³, a², a⁴ এর মধ্যে সর্বনিম্ন ঘাত হলো: a²
• b², b⁴, b³ এর মধ্যে সর্বনিম্ন ঘাত হলো: b²
• c⁴, c³, c² এর মধ্যে সর্বনিম্ন ঘাত হলো: c²

সুতরাং, নির্ণেয় গ.সা.গু. = 5a²b²c²

উত্তর: 5a²b²c²

২. (x + 2)², (x² + 2x) এবং (x² + 5x + 6)

সমাধান:

১ম রাশি: (x + 2)²

= (x + 2)(x + 2)

২য় রাশি: x² + 2x

= x(x + 2) [x কমন নিয়ে]

৩য় রাশি: x² + 5x + 6

💡 মিডল টার্ম: 6 কে ভাঙতে হবে যেন যোগফল 5 হয়। (3 × 2 = 6; 3 + 2 = 5)

= x² + 3x + 2x + 6

= x(x + 3) + 2(x + 3)

= (x + 3)(x + 2)

সাধারণ উৎপাদক নির্ণয়:

তিনটি রাশিতেই বিদ্যমান সাধারণ উৎপাদকটি হলো: (x + 2)

উত্তর: (x + 2)

৩. 6a² + 3ab, 2a³ + 5a² - 12a এবং a⁴ - 8a

সমাধান:

১ম রাশি: 6a² + 3ab

= 3a(2a + b) [3a কমন নিয়ে]

২য় রাশি: 2a³ + 5a² - 12a

= a(2a² + 5a - 12) [প্রথমে a কমন]

💡 মিডল টার্ম: 2 × 12 = 24। 24 কে ভেঙে 5 বানাতে হবে। (8 × 3 = 24; 8 - 3 = 5)

= a(2a² + 8a - 3a - 12)

= a { 2a(a + 4) - 3(a + 4) }

= a(a + 4)(2a - 3)

৩য় রাশি: a⁴ - 8a

= a(a³ - 8)

= a(a³ - 2³) [ঘনফলের বিয়োগ সূত্র]

= a(a - 2)(a² + 2a + 4)

সাধারণ উৎপাদক নির্ণয়:

রাশিগুলোর উৎপাদক বিশ্লেষণ করে দেখি:

• ১ম রাশিতে আছে: 3, a, (2a + b)
• ২য় রাশিতে আছে: a, (a + 4), (2a - 3)
• ৩য় রাশিতে আছে: a, (a - 2), (a² + 2a + 4)

লক্ষ্য করলে দেখা যায়, তিনটি রাশিতেই একমাত্র সাধারণ (Common) উৎপাদক হলো a।

উত্তর: a

পৃষ্ঠা ৭১ এর কাজ

১. 5x³y, 10x²y, 20x⁴y²

সমাধান:

💡 নিয়ম: প্রথমে সাংখ্যিক সহগগুলোর ল.সা.গু. বের করতে হবে এবং পরে চলকগুলোর সর্বোচ্চ ঘাত নিতে হবে।

১ম রাশি = 5x³y

২য় রাশি = 10x²y

৩য় রাশি = 20x⁴y²

ধাপ ১: সংখ্যার ল.সা.গু.

৫, ১০ ও ২০ এর ল.সা.গু. = ২০

ধাপ ২: চলকের সর্বোচ্চ ঘাত

• x এর সর্বোচ্চ ঘাত = x⁴ (৩য় রাশিতে আছে)
• y এর সর্বোচ্চ ঘাত = y² (৩য় রাশিতে আছে)

সুতরাং, নির্ণেয় ল.সা.গু. = 20x⁴y²

উত্তর: 20x⁴y²

২. x² - y², 2(x + y), 2x²y + 2xy²

সমাধান:

১ম রাশি = x² - y² = (x + y)(x - y)

২য় রাশি = 2(x + y)

৩য় রাশি = 2x²y + 2xy² = 2xy(x + y) [2xy কমন নিয়ে]

🔍 ল.সা.গু. নির্ণয়:
• সংখ্যা ও একপদ: 2 এবং xy → 2xy
• সাধারণ উৎপাদক: (x + y)
• অবশিষ্ট উৎপাদক: (x - y)

সুতরাং, নির্ণেয় ল.সা.গু. = 2xy(x + y)(x - y)

= 2xy(x² - y²)

উত্তর: 2xy(x² - y²)

৩. a³ - 1, a³ + 1, a⁴ + a² + 1

সমাধান:

১ম রাশি: a³ - 1 = (a - 1)(a² + a + 1)

২য় রাশি: a³ + 1 = (a + 1)(a² - a + 1)

৩য় রাশি: a⁴ + a² + 1

= (a²)² + 2a²·1 + 1² - a² [সূত্র মেলানোর জন্য a² যোগ ও বিয়োগ]
= (a² + 1)² - a²
= (a² + 1 + a)(a² + 1 - a)
= (a² + a + 1)(a² - a + 1)

🚀 ল.সা.গু. সাজানো:
সবগুলো উৎপাদক নিতে হবে:
= (a - 1)(a + 1)(a² + a + 1)(a² - a + 1)

আমরা উৎপাদকগুলোকে জোড়ায় জোড়ায় সাজাই:

= (a - 1)(a² + a + 1) × (a + 1)(a² - a + 1)

= (a³ - 1) × (a³ + 1)

= (a³)² - 1²

= a⁶ - 1

উত্তর: a⁶ - 1

অনুশীলনী ৪.৪ এর ১ থেকে ৭ নম্বর প্রশ্নের সমাধান

১. (3x - 5)(5 + 3x) কে দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:

(3x - 5)(5 + 3x)

= (3x - 5)(3x + 5) [সাজিয়ে লিখে]

= (3x)² - (5)² [(a-b)(a+b) = a²-b² সূত্র]

= 9x² - 25

সঠিক উত্তর: (ঘ) 9x² - 25

নিচের তথ্যের আলোকে (২-৪) নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাও:

x² - √3x + 1 = 0

২. x + 1/x এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:

দেওয়া আছে, x² - √3x + 1 = 0

বা, x² + 1 = √3x

বা, (x² + 1)/x = √3 [উভয় পক্ষকে x দ্বারা ভাগ করে]

বা, x + 1/x = √3

সঠিক উত্তর: (খ) √3

৩. x² + 1/x² এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:

আমরা জানি, a² + b² = (a + b)² - 2ab

সুতরাং, x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2 · x · 1/x

= (√3)² - 2 [২নং হতে মান বসিয়ে]

= 3 - 2

= 1

সঠিক উত্তর: (ক) 1

৪. x³ + 1/x³ এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:

সূত্র: a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)

সুতরাং, x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3 · x · 1/x (x + 1/x)

= (√3)³ - 3(√3)

= 3√3 - 3√3

= 0

সঠিক উত্তর: (ঘ) 0

৫. x² - x - 30 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ নিচের কোনটি?

সমাধান:

মিডল টার্ম: 30 কে ভেঙে 1 বানাতে হবে (6 × 5 = 30)।

= x² - 6x + 5x - 30

= x(x - 6) + 5(x - 6)

= (x - 6)(x + 5)

সঠিক উত্তর: (গ) (x - 6)(x + 5)

৬. বীজগণিতের সূত্রাবলি সংক্রান্ত নিচের তথ্যগুলো লক্ষ্য কর:

1. x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²) — সঠিক
2. ab = {(a+b)/2}² - {(a-b)/2}² — সঠিক
3. x³ + y³ = (x + y)³ + 3xy(x + y) — ভুল (সঠিক সূত্র: -3xy হবে)

সঠিক উত্তর: (ক) i ও ii

৭. x + 1/x = 2 হলে, নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও:

(১) (x - 1/x)² এর মান কত?

আমরা জানি, (a - b)² = (a + b)² - 4ab

= (2)² - 4 · 1

= 4 - 4 = 0

সঠিক উত্তর: (ক) 0

---

(২) x³ + 1/x³ এর মান কত?

= (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x)

= (2)³ - 3(2)

= 8 - 6 = 2

সঠিক উত্তর: (খ) 2

---

(৩) x⁴ + 1/x⁴ এর মান কত?

= (x² + 1/x²)² - 2

প্রথমে x² + 1/x² = (2)² - 2 = 2

তাহলে, (2)² - 2 = 4 - 2 = 2

সঠিক উত্তর: (ঘ) 2

গ.সা.গু. নির্ণয় (প্রশ্ন ৮ থেকে ১৩)

৮. 36a²b²c⁴d⁵, 54a⁵c²d⁴ এবং 90a⁴b³c²

সমাধান:

💡 নিয়ম: গ.সা.গু. মানে হলো 'কমন' অংশ। সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু. বের করতে হবে এবং চলকগুলোর মধ্যে যেটা সব রাশিতে আছে এবং পাওয়ার সবচেয়ে ছোট, সেটা নিতে হবে।

১ম ধাপ: সংখ্যার গ.সা.গু.

৩৬, ৫৪ এবং ৯০ এর গ.সা.গু. = ১৮

২য় ধাপ: চলকের গ.সা.গু.

• a এর সর্বনিম্ন ঘাত: a²
• b সব রাশিতে নেই, তাই বাদ।
• c এর সর্বনিম্ন ঘাত: c²
• d সব রাশিতে নেই, তাই বাদ।

নির্ণেয় গ.সা.গু. = 18a²c²

৯. 20x³y²a³b⁴, 15x⁴y³a⁴b³ এবং 35x²y⁴a³b²

সমাধান:

২০, ১৫ এবং ৩৫ এর গ.সা.গু. = ৫

x এর সর্বনিম্ন ঘাত = x²

y এর সর্বনিম্ন ঘাত = y²

a এর সর্বনিম্ন ঘাত = a³

b এর সর্বনিম্ন ঘাত = b²

নির্ণেয় গ.সা.গু. = 5x²y²a³b²

১০. x² - 3x, x² - 9 এবং x² - 4x + 3

১ম রাশি: x² - 3x = x(x - 3)

২য় রাশি: x² - 9 = x² - 3² = (x + 3)(x - 3)

৩য় রাশি: x² - 4x + 3

= x² - 3x - x + 3
= x(x - 3) - 1(x - 3)
= (x - 3)(x - 1)

তিনটি রাশিতেই সাধারণ উৎপাদক (x - 3)।

নির্ণেয় গ.সা.গু. = (x - 3)

১১. 18(x + y)³, 24(x + y)² এবং 32(x² - y²)

১ম রাশি: 18(x + y)³ = 2×3×3 × (x+y)(x+y)(x+y)

২য় রাশি: 24(x + y)² = 2×2×2×3 × (x+y)(x+y)

৩য় রাশি: 32(x² - y²) = 2×2×2×2×2 × (x+y)(x-y)

সংখ্যার গ.সা.গু.: ১৮, ২৪, ৩২ এর গ.সা.গু. = ২

বীজগাণিতিক রাশির গ.সা.গু.: সবার মধ্যে কমন আছে (x + y)

নির্ণেয় গ.সা.গু. = 2(x + y)

১২. a²b(a³ - b³), a²b²(a⁴ + a²b² + b⁴) এবং a³b² + a²b³ + ab⁴

১ম রাশি: a²b(a - b)(a² + ab + b²)

২য় রাশি: a²b² { (a² + b²)² - a²b² }

= a²b² (a² + b² + ab)(a² + b² - ab)
= a²b² (a² + ab + b²)(a² - ab + b²)

৩য় রাশি: ab²(a² + ab + b²) [ab² কমন নিয়ে]

কমন অংশ:

• সহগ: a²b, a²b², ab² এর গ.সা.গু. = ab
• রাশি: (a² + ab + b²)

নির্ণেয় গ.সা.গু. = ab(a² + ab + b²)

১৩. a³ - 3a² - 10a, a³ + 6a² + 8a এবং a⁴ - 5a³ - 14a²

১ম রাশি: a(a² - 3a - 10)

= a(a - 5)(a + 2) [মিডল টার্ম করে]

২য় রাশি: a(a² + 6a + 8)

= a(a + 4)(a + 2)

৩য় রাশি: a²(a² - 5a - 14)

= a²(a - 7)(a + 2)

সবার মধ্যে কমন উৎপাদক হলো: a এবং (a + 2)

নির্ণেয় গ.সা.গু. = a(a + 2)

ল.সা.গু. নির্ণয় (প্রশ্ন ১৪ থেকে ১৯ এর সমাধান)

১৪. a⁵b²c, ab³c² এবং a⁷b⁴c³

সমাধান:

💡 ল.সা.গু. এর নিয়ম: প্রদত্ত রাশিগুলোর সর্বোচ্চ ঘাত (Highest Power) নিতে হবে।

• a এর সর্বোচ্চ ঘাত: a⁷
• b এর সর্বোচ্চ ঘাত: b⁴
• c এর সর্বোচ্চ ঘাত: c³

নির্ণেয় ল.সা.গু. = a⁷b⁴c³

১৫. 5a²b³c², 10ab²c³ এবং 15ab³c

সমাধান:

১ম ধাপ: সংখ্যার ল.সা.গু.

৫, ১০ এবং ১৫ এর ল.সা.গু. = ৩০

২য় ধাপ: চলকের সর্বোচ্চ ঘাত

• a এর সর্বোচ্চ ঘাত: a²
• b এর সর্বোচ্চ ঘাত: b³
• c এর সর্বোচ্চ ঘাত: c³

নির্ণেয় ল.সা.গু. = 30a²b³c³

১৬. 3x³y², 4xy³z, 5x⁴y²z² এবং 12xy⁴z²

সমাধান:

১ম ধাপ: সংখ্যার ল.সা.গু.

৩, ৪, ৫ এবং ১২ এর ল.সা.গু. = ৬০

২য় ধাপ: চলকের সর্বোচ্চ ঘাত

• x এর সর্বোচ্চ ঘাত: x⁴
• y এর সর্বোচ্চ ঘাত: y⁴
• z এর সর্বোচ্চ ঘাত: z²

নির্ণেয় ল.সা.গু. = 60x⁴y⁴z²

১৭. x² - 4, x² + 4x + 4 এবং x³ - 8

১ম রাশি: x² - 4 = x² - 2² = (x + 2)(x - 2)

২য় রাশি: x² + 4x + 4 = (x + 2)² = (x + 2)(x + 2)

৩য় রাশি: x³ - 8 = x³ - 2³ = (x - 2)(x² + 2x + 4)

🔍 বিশ্লেষণ: ল.সা.গু. তে কমন এবং আনকমন সব উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাত নিতে হয়।
এখানে (x+2) এর সর্বোচ্চ ঘাত ২, (x-2) এর ১ এবং (x²+2x+4) এর ১।

নির্ণেয় ল.সা.গু. = (x + 2)² (x - 2) (x² + 2x + 4)

= (x + 2)² (x³ - 8)

উত্তর: (x + 2)² (x³ - 8)

১৮. 6x² - x - 1, 3x² + 7x + 2 এবং 2x² + 3x - 2

১ম রাশি: 6x² - x - 1

= 6x² - 3x + 2x - 1
= 3x(2x - 1) + 1(2x - 1)
= (2x - 1)(3x + 1)

২য় রাশি: 3x² + 7x + 2

= 3x² + 6x + x + 2
= 3x(x + 2) + 1(x + 2)
= (x + 2)(3x + 1)

৩য় রাশি: 2x² + 3x - 2

= 2x² + 4x - x - 2
= 2x(x + 2) - 1(x + 2)
= (x + 2)(2x - 1)

সুতরাং, সব উৎপাদকগুলো হলো: (2x - 1), (3x + 1) এবং (x + 2)।

নির্ণেয় ল.সা.গু. = (2x - 1)(3x + 1)(x + 2)

১৯. a³ + b³, (a + b)³, (a² - b²)² এবং (a² - ab + b²)²

১ম রাশি: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

২য় রাশি: (a + b)³

৩য় রাশি: (a² - b²)² = { (a + b)(a - b) }² = (a + b)²(a - b)²

৪র্থ রাশি: (a² - ab + b²)²

🚀 সর্বোচ্চ ঘাত বাছাই:
• (a + b) এর সর্বোচ্চ ঘাত = 3
• (a - b) এর সর্বোচ্চ ঘাত = 2
• (a² - ab + b²) এর সর্বোচ্চ ঘাত = 2

সুতরাং, নির্ণেয় ল.সা.গু. = (a + b)³ (a - b)² (a² - ab + b²)²

উত্তর: (a + b)³ (a - b)² (a² - ab + b²)²

সৃজনশীল প্রশ্ন ৬ এবং ৭ এর সমাধান

সৃজনশীল প্রশ্ন ৬:

P = 3x² - 5x + 2, Q = 3x² - 16x - 12 এবং R = 3x² - x - 2 তিনটি বীজগাণিতিক রাশি।

(ক) P কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

দেওয়া আছে, P = 3x² - 5x + 2

💡 মিডল টার্ম: ৩ × ২ = ৬। ৬ কে ভেঙে -৫ বানাতে হবে। (-৩ - ২ = -৫)

= 3x² - 3x - 2x + 2

= 3x(x - 1) - 2(x - 1)

= (x - 1)(3x - 2)

উত্তর: (x - 1)(3x - 2)

(খ) P = 0 এবং x ≠ 0 হলে, 9x² + 4/x² এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

দেওয়া আছে, P = 3x² - 5x + 2 = 0

বা, 3x² + 2 = 5x

বা, (3x² + 2)/x = 5 [উভয় পক্ষকে x দ্বারা ভাগ করে]

বা, 3x + 2/x = 5

প্রদত্ত রাশি: 9x² + 4/x²

= (3x)² + (2/x)²

= (3x + 2/x)² - 2 · (3x) · (2/x) [a²+b²=(a+b)²-2ab]

= (5)² - 12 [x কাটা এবং মান বসিয়ে]

= 25 - 12

= 13

উত্তর: 13

(গ) Q ও R এর ল.সা.গু. নির্ণয় করো।

সমাধান:

১ম রাশি (Q): 3x² - 16x - 12

💡 ৩ × ১২ = ৩৬। ৩৬ কে ভেঙে -১৬ → -১৮ + ২

= 3x² - 18x + 2x - 12

= 3x(x - 6) + 2(x - 6)

= (x - 6)(3x + 2)

২য় রাশি (R): 3x² - x - 2

💡 ৩ × ২ = ৬। ৬ কে ভেঙে -১ → -৩ + ২

= 3x² - 3x + 2x - 2

= 3x(x - 1) + 2(x - 1)

= (x - 1)(3x + 2)

সুতরাং, নির্ণেয় ল.সা.গু. = (x - 1)(x - 6)(3x + 2)

উত্তর: (x - 1)(x - 6)(3x + 2)

সৃজনশীল প্রশ্ন ৭:

a - 1/a = 3 হলে-

(ক) (a + 1/a)² এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

আমরা জানি, (a + b)² = (a - b)² + 4ab

সুতরাং, (a + 1/a)² = (a - 1/a)² + 4 · a · 1/a

= (3)² + 4 [a কাটা এবং মান বসিয়ে]

= 9 + 4

= 13

উত্তর: 13

(খ) প্রমাণ করো যে, a⁴ = 119 - 1/a⁴

সমাধান:

দেওয়া আছে, a - 1/a = 3

বা, (a - 1/a)² = 3² [বর্গ করে]

বা, a² - 2 + 1/a² = 9

বা, a² + 1/a² = 9 + 2 = 11

পুনরায় বর্গ করে পাই:

(a² + 1/a²)² = (11)²

বা, (a²)² + 2 · a² · 1/a² + (1/a²)² = 121

বা, a⁴ + 2 + 1/a⁴ = 121

বা, a⁴ + 1/a⁴ = 121 - 2

বা, a⁴ + 1/a⁴ = 119

বা, a⁴ = 119 - 1/a⁴

(প্রমাণিত)

(গ) a⁵ - 1/a⁵ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

💡 কৌশল: a⁵ - 1/a⁵ বের করতে হলে আমাদের (a³ - 1/a³) এবং (a² + 1/a²) এর মান লাগবে।

আমরা (খ) হতে পাই, a² + 1/a² = 11

এখন, a³ - 1/a³ = (a - 1/a)³ + 3 · a · 1/a (a - 1/a)

= 3³ + 3 · 3

= 27 + 9 = 36

এখন, (a³ - 1/a³) × (a² + 1/a²) গুণ করি:

36 × 11 = 396

বা, a³(a² + 1/a²) - 1/a³(a² + 1/a²) = 396

বা, a⁵ + a - 1/a - 1/a⁵ = 396

বা, (a⁵ - 1/a⁵) + (a - 1/a) = 396

বা, (a⁵ - 1/a⁵) + 3 = 396 [মান বসিয়ে]

বা, a⁵ - 1/a⁵ = 396 - 3

বা, a⁵ - 1/a⁵ = 393

উত্তর: 393

প্রশ্ন ৮ (ক - ঙ) এর বিস্তারিত সমাধান

৮ (ক) a + b = 10 এবং a - b = 6 হলে, a² + b² এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

💡 সূত্র: 2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²

আমরা জানি,

a² + b² = { (a + b)² + (a - b)² } / 2

= { (10)² + (6)² } / 2 [মান বসিয়ে]

= (100 + 36) / 2

= 136 / 2

= 68

উত্তর: 68

৮ (খ) x² + 6x + 8 কে দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করো।

সমাধান:

🔍 কৌশল: রাশিটিকে পূর্ণবর্গ আকারে সাজাতে হবে।

x² + 6x + 8

= x² + 2 · x · 3 + 3² - 1 [3²=9, কিন্তু আছে 8, তাই 1 বিয়োগ]

= (x + 3)² - 1

= (x + 3)² - (1)²

উত্তর: (x + 3)² - (1)²

৮ (গ) a + 1/a = 3 হলে, a³ + 1/a³ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি = a³ + 1/a³

= (a + 1/a)³ - 3 · a · 1/a (a + 1/a) [মান নির্ণয়ের সূত্র]

= (3)³ - 3(3) [মান বসিয়ে]

= 27 - 9

= 18

উত্তর: 18

৮ (ঘ) 2x² - 9x - 35 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

💡 মিডল টার্ম: 2 × 35 = 70। 70 কে ভেঙে 9 বানাতে হবে। (14 × 5 = 70 এবং 14 - 5 = 9)

= 2x² - 14x + 5x - 35

= 2x(x - 7) + 5(x - 7)

= (x - 7)(2x + 5)

উত্তর: (x - 7)(2x + 5)

৮ (ঙ) x² - 3x ও x² - 9 এর গ.সা.গু. নির্ণয় করো।

সমাধান:

১ম রাশি: x² - 3x = x(x - 3)

২য় রাশি: x² - 9 = x² - 3² = (x + 3)(x - 3)

উভয় রাশিতে সাধারণ উৎপাদক (Common Factor) হলো: (x - 3)

উত্তর: (x - 3)