অষ্টম শ্রেণি গণিত অধ্যায় ৪ বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও প্রয়োগ অনুশীলন ৪.৩ সম্পূর্ণ সমাধান
বীজগণিতের অন্যতম ভিত্তি হলো উৎপাদকে বিশ্লেষণ। অষ্টম শ্রেণির গণিত বইয়ের অনুশীলনী ৪.৩-এ মিডল টার্ম ব্রেক (Middle Term Break), বর্গের সূত্র এবং ঘনের সূত্রের সাহায্যে কীভাবে রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হয়, তা আলোচনা করা হয়েছে। অনেক সময় বড় সংখ্যার মিডল টার্ম বা জটিল সূত্র প্রয়োগ করতে গিয়ে শিক্ষার্থীরা বিভ্রান্তিতে পড়ে যায়। নিচের গাইডে আমরা পাঠ্যবইয়ের পৃষ্ঠা ৬৩, ৬৫ ও ৬৭-এর একক কাজ থেকে শুরু করে অনুশীলনী ৪.৩ এর প্রতিটি অংকের (১-৪৪) নির্ভুল সমাধান দিয়েছি। এখানে প্রতিটি অংকের সাথে 'ব্যাখ্যা' ও 'কৌশল' যুক্ত করা হয়েছে যাতে তোমরা অংকটি মুখস্ত না করে নিয়মটি শিখতে পারো। সূচিপত্রে ক্লিক করে সহজেই যেকোনো সমাধানে যাওয়া যাবে।
📌 সূচিপত্র: যে সমাধানে যেতে চান ক্লিক করুন
পৃষ্ঠা ৬৩ এর কাজ
১. 4x2 - y2
ব্যাখ্যা:
a2 - b2 এর সূত্রে পড়বে।সূত্র: a2 - b2 = (a + b)(a - b)
ধাপ ১: বর্গাকারে সাজানো
4x2 কে লেখা যায় (2x)2 এবং y2 কে (y)2
= (2x)2 - (y)2
ধাপ ২: সূত্র প্রয়োগ
এখানে a = 2x এবং b = y
= (2x + y)(2x - y)
উত্তর: (2x + y)(2x - y)
২. 6ab2 - 24a
ব্যাখ্যা:
ধাপ ১: কমন নেওয়া
উভয় পদে '6' এবং 'a' আছে। (কারণ 24 কে 6 দিয়ে ভাগ করা যায়)।
= 6a(b2 - 4) [24a থেকে 6a কমন নিলে 4 থাকে]
ধাপ ২: ব্র্যাকেটের ভেতরের কাজ
ভেতরে আছে (b2 - 4)। 4 কে আমরা 22 লিখতে পারি।
= 6a(b2 - 22)
ধাপ ৩: সূত্র প্রয়োগ
এখন এটি a2 - b2 এর সূত্রে পড়ে।
= 6a(b + 2)(b - 2)
উত্তর: 6a(b + 2)(b - 2)
৩. x2 + 2px + p2 - 4
ধাপ ১: সূত্র তৈরি করা
= (x2 + 2·x·p + p2) - 4
= (x + p)2 - 4 [(a+b)2 এর সূত্র]
ধাপ ২: পুনরায় সূত্র প্রয়োগ
4 কে 22 লেখা যায়।
= (x + p)2 - 22
এখন পুরো (x + p) কে 'a' এবং 2 কে 'b' ধরলে a2 - b2 এর সূত্র হয়।
= (x + p + 2)(x + p - 2)
উত্তর: (x + p + 2)(x + p - 2)
৪. x3 + 27y3
ব্যাখ্যা:
সূত্র: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
ধাপ ১: ঘন আকারে সাজানো
x3 কে (x)3 এবং 27y3 কে (3y)3 লেখা যায় (কারণ 3×3×3 = 27)।
= (x)3 + (3y)3
ধাপ ২: সূত্র প্রয়োগ
এখানে a = x এবং b = 3y
= (x + 3y) { (x)2 - (x)(3y) + (3y)2 }
ধাপ ৩: চূড়ান্ত হিসাব
= (x + 3y)(x2 - 3xy + 9y2) [3y এর বর্গ 9y2]
উত্তর: (x + 3y)(x2 - 3xy + 9y2)
৫. 27a3 - 8
ব্যাখ্যা:
সূত্র: a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
ধাপ ১: সাজানো
27a3 = (3a)3 এবং 8 = 23
= (3a)3 - (2)3
ধাপ ২: সূত্র প্রয়োগ
এখানে a = 3a এবং b = 2
= (3a - 2) { (3a)2 + (3a)(2) + (2)2 }
ধাপ ৩: গুণ ও বর্গ করা
- (3a)2 = 9a2
- 3a × 2 = 6a
- 22 = 4
= (3a - 2)(9a2 + 6a + 4)
উত্তর: (3a - 2)(9a2 + 6a + 4)
পৃষ্ঠা ৬৫ এর কাজ
১. x2 - 18x + 72
সমাধান:
সংখ্যা দুটি হলো: -12 এবং -6।
কারণ: (-12) × (-6) = 72 এবং (-12) + (-6) = -18
= x2 - 12x - 6x + 72
= x(x - 12) - 6(x - 12) [কমন নিয়ে]
= (x - 12)(x - 6)
উত্তর: (x - 12)(x - 6)
২. x2 - 9x - 36
সমাধান:
সংখ্যা দুটি হলো: -12 এবং +3।
কারণ: (-12) × 3 = -36 এবং -12 + 3 = -9
= x2 - 12x + 3x - 36
= x(x - 12) + 3(x - 12)
= (x - 12)(x + 3)
উত্তর: (x - 12)(x + 3)
৩. x2 - 23x + 132
সমাধান:
আমরা জানি, 11 × 12 = 132।
তাই সংখ্যা দুটি হলো: -11 এবং -12।
= x2 - 12x - 11x + 132
= x(x - 12) - 11(x - 12) [-11 কমন নেওয়ায় ভেতরের চিহ্ন বদলে গেছে]
= (x - 12)(x - 11)
উত্তর: (x - 12)(x - 11)
পৃষ্ঠা ৬৭ এর কাজ
১. 8x2 + 18x + 9
সমাধান:
এখন 72 কে এমন দুটি সংখ্যায় ভাঙতে হবে যাদের যোগফল 18 হয়।
সংখ্যা দুটি হলো: 12 এবং 6। (কারণ 12 × 6 = 72 এবং 12 + 6 = 18)
= 8x2 + 12x + 6x + 9
= 4x(2x + 3) + 3(2x + 3) [জোড়ায় জোড়ায় কমন নিয়ে]
= (2x + 3)(4x + 3)
উত্তর: (2x + 3)(4x + 3)
২. 27x2 + 15x + 2
সমাধান:
54 কে ভেঙে যোগফল 15 মেলাতে হবে।
সংখ্যা দুটি হলো: 9 এবং 6। (কারণ 9 × 6 = 54 এবং 9 + 6 = 15)
= 27x2 + 9x + 6x + 2
= 9x(3x + 1) + 2(3x + 1)
= (3x + 1)(9x + 2)
উত্তর: (3x + 1)(9x + 2)
৩. 2a2 - 6a - 20
সমাধান:
= 2(a2 - 3a - 10)
এখন ব্র্যাকেটের ভেতরের অংশটি মিডল টার্ম করব।
গুণফল হবে -10 এবং যোগফল -3।
সংখ্যা দুটি হলো: -5 এবং +2।
= 2(a2 - 5a + 2a - 10)
= 2 { a(a - 5) + 2(a - 5) }
= 2(a - 5)(a + 2)
উত্তর: 2(a - 5)(a + 2)
অনুশীলন ৪.৩ উৎপাদকে বিশ্লেষণ (১-৮) সমাধান
১. a3 + 8
সমাধান ও ব্যাখ্যা:
সূত্র: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
ধাপ ১: ঘন আকারে সাজানো
8 কে আমরা 23 লিখতে পারি (কারণ 2×2×2 = 8)।
= a3 + 23
ধাপ ২: সূত্র প্রয়োগ
এখানে প্রথম পদ a এবং দ্বিতীয় পদ 2। সূত্রের b এর জায়গায় 2 বসবে।
= (a + 2)(a2 - a·2 + 22)
ধাপ ৩: হিসাব
= (a + 2)(a2 - 2a + 4)
উত্তর: (a + 2)(a2 - 2a + 4)
২. 8x3 + 343
সমাধান ও ব্যাখ্যা:
ধাপ ১: ঘন মূল বের করা
8 এর ঘনমূল 2 (তাই 8x3 = (2x)3) এবং 343 এর ঘনমূল 7 (কারণ 7×7×7 = 343)।
= (2x)3 + (7)3
ধাপ ২: সূত্র প্রয়োগ (a3 + b3)
এখানে a = 2x এবং b = 7।
= (2x + 7) { (2x)2 - (2x)(7) + (7)2 }
ধাপ ৩: চূড়ান্ত হিসাব
- (2x)2 মানে 4x2
- 2x গুণ 7 মানে 14x
- 72 মানে 49
= (2x + 7)(4x2 - 14x + 49)
উত্তর: (2x + 7)(4x2 - 14x + 49)
৩. 8a4 + 27ab3
সমাধান ও ব্যাখ্যা:
ধাপ ১: কমন নেওয়া
উভয় পদে 'a' আছে। তাই a কমন নিই।
= a(8a3 + 27b3)
ধাপ ২: ঘন আকারে সাজানো
ব্র্যাকেটের ভেতরের অংশকে সূত্রে ফেলি।
= a { (2a)3 + (3b)3 }
ধাপ ৩: সূত্র প্রয়োগ
= a(2a + 3b) { (2a)2 - (2a)(3b) + (3b)2 }
= a(2a + 3b)(4a2 - 6ab + 9b2)
উত্তর: a(2a + 3b)(4a2 - 6ab + 9b2)
৪. 8x3 + 1
সমাধান ও ব্যাখ্যা:
ধাপ ১: সাজানো
= (2x)3 + (1)3
ধাপ ২: সূত্র প্রয়োগ
এখানে a = 2x এবং b = 1
= (2x + 1) { (2x)2 - (2x)(1) + (1)2 }
ধাপ ৩: ফলাফল
= (2x + 1)(4x2 - 2x + 1)
উত্তর: (2x + 1)(4x2 - 2x + 1)
৫. 64a3 - 125b3
সমাধান ও ব্যাখ্যা:
সূত্র: a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
ধাপ ১: ঘন মূল বের করা
64 এর ঘনমূল 4 এবং 125 এর ঘনমূল 5।
= (4a)3 - (5b)3
ধাপ ২: সূত্র বসানো
= (4a - 5b) { (4a)2 + (4a)(5b) + (5b)2 }
ধাপ ৩: বর্গ ও গুণ করা
= (4a - 5b)(16a2 + 20ab + 25b2)
উত্তর: (4a - 5b)(16a2 + 20ab + 25b2)
৬. 729a3 - 64b3c6
সমাধান ও ব্যাখ্যা:
ধাপ ১: জটিল রাশিকে সাজানো
729 এর ঘনমূল হলো 9।
c6 কে ঘন আকারে লিখতে হলে (c2)3 লিখতে হবে (কারণ 2×3=6)।
= (9a)3 - (4bc2)3
ধাপ ২: সূত্র প্রয়োগ
এখানে ১ম পদ = 9a এবং ২য় পদ = 4bc2
= (9a - 4bc2) { (9a)2 + (9a)(4bc2) + (4bc2)2 }
ধাপ ৩: হিসাব
= (9a - 4bc2)(81a2 + 36abc2 + 16b2c4)
উত্তর: (9a - 4bc2)(81a2 + 36abc2 + 16b2c4)
৭. 27a3b3 + 64b3c3
ধাপ ১: কমন নেওয়া
= b3(27a3 + 64c3)
ধাপ ২: ঘন আকারে লেখা
= b3 { (3a)3 + (4c)3 }
ধাপ ৩: সূত্র প্রয়োগ
= b3(3a + 4c) { (3a)2 - (3a)(4c) + (4c)2 }
= b3(3a + 4c)(9a2 - 12ac + 16c2)
উত্তর: b3(3a + 4c)(9a2 - 12ac + 16c2)
৮. 56x3 - 189y3
সমাধান ও ব্যাখ্যা:
সমাধান: এমন একটি সংখ্যা দিয়ে ভাগ করতে হবে যা দিয়ে দুটোই ভাগ যায়। সংখ্যাটি হলো 7।
ধাপ ১: কমন নেওয়া
= 7(8x3 - 27y3) [56÷7=8 এবং 189÷7=27]
ধাপ ২: ঘন আকারে সাজানো
= 7 { (2x)3 - (3y)3 }
ধাপ ৩: সূত্র প্রয়োগ
= 7(2x - 3y) { (2x)2 + (2x)(3y) + (3y)2 }
= 7(2x - 3y)(4x2 + 6xy + 9y2)
উত্তর: 7(2x - 3y)(4x2 + 6xy + 9y2)
অনুশীলন ৪.৩ উৎপাদকে বিশ্লেষণ (প্রশ্ন ৯ থেকে ২০) সমাধান
৯. 3x - 75x3
ব্যাখ্যা: প্রথমে কমন নিতে হবে।
= 3x(1 - 25x2) [3x কমন নিয়ে]
= 3x { 12 - (5x)2 } [a2 - b2 সূত্র]
= 3x(1 + 5x)(1 - 5x)
উত্তর: 3x(1 + 5x)(1 - 5x)
১০. 4x2 - y2
ব্যাখ্যা: সরাসরি বর্গের বিয়োগের সূত্র।
= (2x)2 - y2
= (2x + y)(2x - y)
উত্তর: (2x + y)(2x - y)
১১. 3ay2 - 48a
ব্যাখ্যা: প্রথমে 3a কমন নিতে হবে।
= 3a(y2 - 16)
= 3a(y2 - 42)
= 3a(y + 4)(y - 4)
উত্তর: 3a(y + 4)(y - 4)
১২. a2 - 2ab + b2 - p2
ব্যাখ্যা: প্রথম তিনটি পদ মিলে একটি সূত্র হয়।
= (a2 - 2ab + b2) - p2
= (a - b)2 - p2 [এখন এটি a2-b2 এর মতো]
= (a - b + p)(a - b - p)
উত্তর: (a - b + p)(a - b - p)
১৩. 16y2 - a2 - 6a - 9
= 16y2 - (a2 + 6a + 9)
= (4y)2 - (a2 + 2·a·3 + 32)
= (4y)2 - (a + 3)2
= { 4y + (a + 3) } { 4y - (a + 3) }
= (4y + a + 3)(4y - a - 3)
উত্তর: (4y + a + 3)(4y - a - 3)
১৪. 8a + ap3
ব্যাখ্যা: প্রথমে 'a' কমন নিতে হবে।
= a(8 + p3)
= a(23 + p3) [a3+b3 সূত্র]
= a(2 + p)(22 - 2p + p2)
= a(2 + p)(4 - 2p + p2)
উত্তর: a(2 + p)(4 - 2p + p2)
১৫. 2a3 + 16b3
ব্যাখ্যা: প্রথমে 2 কমন নিতে হবে।
= 2(a3 + 8b3)
= 2 { a3 + (2b)3 }
= 2(a + 2b)(a2 - a·2b + (2b)2)
= 2(a + 2b)(a2 - 2ab + 4b2)
উত্তর: 2(a + 2b)(a2 - 2ab + 4b2)
১৬. x2 + y2 - 2xy - 1
ব্যাখ্যা: সাজিয়ে লিখতে হবে।
= (x2 - 2xy + y2) - 1
= (x - y)2 - 12
= (x - y + 1)(x - y - 1)
উত্তর: (x - y + 1)(x - y - 1)
১৭. a2 - 2ab + 2b - 1
ব্যাখ্যা: গ্রুপিং বা সাজিয়ে লিখতে হবে।
= a2 - 1 - 2ab + 2b
= (a2 - 12) - 2b(a - 1)
= (a + 1)(a - 1) - 2b(a - 1)
= (a - 1)(a + 1 - 2b) [(a-1) কমন নিয়ে]
উত্তর: (a - 1)(a - 2b + 1)
১৮. x4 - 2x2 + 1
ব্যাখ্যা: এটি বর্গের সূত্র।
= (x2)2 - 2·x2·1 + 12
= (x2 - 1)2
= { (x + 1)(x - 1) }2 [ভেতরে a2-b2 সূত্র]
= (x + 1)2 (x - 1)2
উত্তর: (x + 1)2 (x - 1)2
১৯. 36 - 12x + x2
ব্যাখ্যা: এটিও বর্গের সূত্র।
= 62 - 2·6·x + x2
= (6 - x)2
উত্তর: (6 - x)2
২০. x6 - y6
ব্যাখ্যা: প্রথমে বর্গের বিয়োগ, পরে ঘনের সূত্র।
= (x3)2 - (y3)2
= (x3 + y3)(x3 - y3)
এখন দুটি অংশকেই সূত্রে ভাঙাতে হবে:
- ১ম অংশ: (x + y)(x2 - xy + y2)
- ২য় অংশ: (x - y)(x2 + xy + y2)
উত্তর: (x + y)(x - y)(x2 - xy + y2)(x2 + xy + y2)
অনুশীলন ৪.৩ উৎপাদকে বিশ্লেষণ (প্রশ্ন ২১ থেকে ২৯) সমাধান
২১. (x - y)3 + z3
ব্যাখ্যা: এটি a3 + b3 এর সূত্রে পড়বে। এখানে a = (x-y) এবং b = z।
= { (x - y) + z } { (x - y)2 - (x - y)z + z2 }
= (x - y + z) (x2 - 2xy + y2 - xz + yz + z2)
= (x - y + z) (x2 + y2 + z2 - 2xy - xz + yz)
উত্তর: (x - y + z)(x2 + y2 + z2 - 2xy + yz - xz)
২২. 64x3 - 8y3
ব্যাখ্যা: প্রথমে 8 কমন নিতে হবে।
= 8(8x3 - y3)
= 8 { (2x)3 - y3 }
= 8(2x - y) { (2x)2 + (2x)(y) + y2 }
= 8(2x - y)(4x2 + 2xy + y2)
উত্তর: 8(2x - y)(4x2 + 2xy + y2)
২৩. x2 + 14x + 40
= x2 + 10x + 4x + 40
= x(x + 10) + 4(x + 10)
= (x + 10)(x + 4)
উত্তর: (x + 10)(x + 4)
২৪. x2 + 7x - 120
= x2 + 15x - 8x - 120
= x(x + 15) - 8(x + 15)
= (x + 15)(x - 8)
উত্তর: (x + 15)(x - 8)
২৫. x2 - 51x + 650
= x2 - 26x - 25x + 650
= x(x - 26) - 25(x - 26)
= (x - 26)(x - 25)
উত্তর: (x - 25)(x - 26)
২৬. a2 + 7ab + 12b2
= a2 + 4ab + 3ab + 12b2
= a(a + 4b) + 3b(a + 4b)
= (a + 4b)(a + 3b)
উত্তর: (a + 4b)(a + 3b)
২৭. p2 + 2pq - 80q2
= p2 + 10pq - 8pq - 80q2
= p(p + 10q) - 8q(p + 10q)
= (p + 10q)(p - 8q)
উত্তর: (p + 10q)(p - 8q)
২৮. x2 - 3xy - 40y2
= x2 - 8xy + 5xy - 40y2
= x(x - 8y) + 5y(x - 8y)
= (x - 8y)(x + 5y)
উত্তর: (x - 8y)(x + 5y)
২৯. (x2 - x)2 + 3(x2 - x) - 40
ধরি, x2 - x = a
প্রদত্ত রাশি = a2 + 3a - 40
মিডল টার্ম: 8 × 5 = 40 এবং 8 - 5 = 3
= a2 + 8a - 5a - 40
= a(a + 8) - 5(a + 8)
= (a + 8)(a - 5)
মান বসিয়ে পাই:
= (x2 - x + 8)(x2 - x - 5)
উত্তর: (x2 - x + 8)(x2 - x - 5)
অনুশীলন ৪.৩ উৎপাদকে বিশ্লেষণ (প্রশ্ন ৩০ থেকে ৩৪) সমাধান
৩০. (a2 + b2)2 - 18(a2 + b2) - 88
মিডল টার্ম: 88 কে ভাঙতে হবে যেন বিয়োগফল 18 হয়। (22 × 4 = 88; 22 - 4 = 18)
সমাধান:
ধরি, a2 + b2 = x
প্রদত্ত রাশি = x2 - 18x - 88
= x2 - 22x + 4x - 88
= x(x - 22) + 4(x - 22)
= (x - 22)(x + 4)
x এর মান বসিয়ে পাই:
= (a2 + b2 - 22)(a2 + b2 + 4)
উত্তর: (a2 + b2 - 22)(a2 + b2 + 4)
৩১. (a2 + 7a)2 - 8(a2 + 7a) - 180
মিডল টার্ম: 180 কে ভাঙতে হবে যেন বিয়োগফল 8 হয়। (18 × 10 = 180; 18 - 10 = 8)
সমাধান:
ধরি, a2 + 7a = x
প্রদত্ত রাশি = x2 - 8x - 180
= x2 - 18x + 10x - 180
= x(x - 18) + 10(x - 18)
= (x - 18)(x + 10)
x এর মান বসিয়ে পাই:
= (a2 + 7a - 18)(a2 + 7a + 10)
১ম অংশ: a2 + 7a - 18 = a2 + 9a - 2a - 18 = (a + 9)(a - 2)
২য় অংশ: a2 + 7a + 10 = a2 + 5a + 2a + 10 = (a + 5)(a + 2)
সুতরাং, নির্ণেয় উৎপাদক:
= (a + 9)(a - 2)(a + 5)(a + 2)
উত্তর: (a + 9)(a - 2)(a + 5)(a + 2)
৩২. x2 + (3a + 4b)x + (2a2 + 5ab + 3b2)
2 × 3 = 6। 6 কে ভেঙে 5 বানাতে হবে (2 + 3 = 5)।
১ম ধাপ (শেষ অংশের কাজ):
2a2 + 5ab + 3b2
= 2a2 + 2ab + 3ab + 3b2
= 2a(a + b) + 3b(a + b)
= (a + b)(2a + 3b)
২য় ধাপ (মূল অঙ্ক):
এখন, x এর সহগ (3a + 4b) কে আমরা উৎপাদক দুটির যোগফল আকারে লিখতে পারি:
(a + b) + (2a + 3b) = 3a + 4b
সুতরাং, রাশিটি দাঁড়ায়:
= x2 + { (a + b) + (2a + 3b) }x + (a + b)(2a + 3b)
= x2 + (a + b)x + (2a + 3b)x + (a + b)(2a + 3b)
= x { x + (a + b) } + (2a + 3b) { x + (a + b) }
= { x + (a + b) } { x + (2a + 3b) }
= (x + a + b)(x + 2a + 3b)
উত্তর: (x + a + b)(x + 2a + 3b)
৩৩. 6x2 - x - 15
90 কে এমন দুটি সংখ্যায় ভাঙতে হবে যাদের বিয়োগফল 1 হয়। (10 × 9 = 90; 10 - 9 = 1)
= 6x2 - 10x + 9x - 15
= 2x(3x - 5) + 3(3x - 5)
= (3x - 5)(2x + 3)
উত্তর: (3x - 5)(2x + 3)
৩৪. x2 - x - (a + 1)(a + 2)
লক্ষ্য করুন: (a + 2) - (a + 1) = 1 (যা x এর সহগ)।
তাই আমরা মাঝখানের x কে এই দুটি রাশির বিয়োগফল হিসেবে লিখব।
= x2 - { (a + 2) - (a + 1) }x - (a + 1)(a + 2)
= x2 - (a + 2)x + (a + 1)x - (a + 1)(a + 2) [মাইনাসে মাইনাসে প্লাস]
এখন কমন নিই:
= x { x - (a + 2) } + (a + 1) { x - (a + 2) }
= { x - (a + 2) } { x + (a + 1) }
= (x - a - 2)(x + a + 1)
উত্তর: (x - a - 2)(x + a + 1)
অনুশীলন ৪.৩ উৎপাদকে বিশ্লেষণ (প্রশ্ন ৩৫ থেকে ৪০) সমাধান
৩৫. 3x2 + 11x - 4
১২ কে ভেঙে ১১ বানাতে হবে। ১২ × ১ = ১২ এবং ১২ - ১ = ১১।
সমাধান:
= 3x2 + 12x - x - 4
= 3x(x + 4) - 1(x + 4)
= (x + 4)(3x - 1)
উত্তর: (x + 4)(3x - 1)
৩৬. 3x2 - 16x - 12
৩৬ কে ভেঙে -১৬ বানাতে হবে। ১৮ × ২ = ৩৬ এবং -১৮ + ২ = -১৬।
সমাধান:
= 3x2 - 18x + 2x - 12
= 3x(x - 6) + 2(x - 6)
= (x - 6)(3x + 2)
উত্তর: (x - 6)(3x + 2)
৩৭. 2x2 - 9x - 35
৭০ কে ভেঙে -৯ বানাতে হবে। ১৪ × ৫ = ৭০ এবং -১৪ + ৫ = -৯।
সমাধান:
= 2x2 - 14x + 5x - 35
= 2x(x - 7) + 5(x - 7)
= (x - 7)(2x + 5)
উত্তর: (x - 7)(2x + 5)
৩৮. 2x2 - 5xy + 2y2
৪ কে ভেঙে -৫ বানাতে হবে। ৪ × ১ = ৪ এবং -৪ - ১ = -৫।
সমাধান:
= 2x2 - 4xy - xy + 2y2
= 2x(x - 2y) - y(x - 2y)
= (x - 2y)(2x - y)
উত্তর: (x - 2y)(2x - y)
৩৯. x3 - 8(x - y)3
এখানে a = x এবং b = 2(x - y)। কারণ 8 এর ঘনমূল 2।
সমাধান:
= x3 - { 2(x - y) }3
= { x - 2(x - y) } { x2 + x · 2(x - y) + (2(x - y))2 }
= (x - 2x + 2y) { x2 + 2x(x - y) + 4(x - y)2 }
= (2y - x) { x2 + 2x2 - 2xy + 4(x2 - 2xy + y2) }
= (2y - x) (3x2 - 2xy + 4x2 - 8xy + 4y2)
= (2y - x) (7x2 - 10xy + 4y2)
উত্তর: (2y - x)(7x2 - 10xy + 4y2)
৪০. 10p2 + 11pq - 6q2
৬০ কে ভেঙে ১১ বানাতে হবে। ১৫ × ৪ = ৬০ এবং ১৫ - ৪ = ১১।
সমাধান:
= 10p2 + 15pq - 4pq - 6q2
= 5p(2p + 3q) - 2q(2p + 3q)
= (2p + 3q)(5p - 2q)
উত্তর: (2p + 3q)(5p - 2q)
অনুশীলন ৪.৩ উৎপাদকে বিশ্লেষণ (প্রশ্ন ৪১ থেকে ৪৪) সমাধান
৪১. 2(x + y)2 - 3(x + y) - 2
মিডল টার্ম: 2 × 2 = 4।
4 কে ভেঙে -3 বানাতে হবে। 4 × 1 = 4 এবং -4 + 1 = -3।
সমাধান:
ধরি, x + y = a
প্রদত্ত রাশি = 2a2 - 3a - 2
= 2a2 - 4a + a - 2
= 2a(a - 2) + 1(a - 2)
= (a - 2)(2a + 1)
মান বসিয়ে পাই:
= (x + y - 2) { 2(x + y) + 1 }
= (x + y - 2)(2x + 2y + 1)
উত্তর: (x + y - 2)(2x + 2y + 1)
৪২. ax2 + (a2 + 1)x + a
সমাধান:
= ax2 + a2x + x + a
= ax(x + a) + 1(x + a) [প্রথম দুটি থেকে ax এবং পরের দুটি থেকে 1 কমন]
= (x + a)(ax + 1)
উত্তর: (x + a)(ax + 1)
৪৩. 15x2 - 11xy - 12y2
180 কে এমন দুটি সংখ্যায় ভাঙতে হবে যাদের বিয়োগফল 11 হয়।
আমরা জানি, 20 × 9 = 180 এবং 20 - 9 = 11।
সমাধান:
= 15x2 - 20xy + 9xy - 12y2
= 5x(3x - 4y) + 3y(3x - 4y)
= (3x - 4y)(5x + 3y)
উত্তর: (3x - 4y)(5x + 3y)
৪৪. a3 - 3a2b + 3ab2 - 2b3
সমাধান:
= a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 - b3
= (a - b)3 - b3 [প্রথম অংশটুকু সূত্রের]
এখন এটি x3 - y3 এর সূত্রে পড়ে। যেখানে x = a-b এবং y = b।
= { (a - b) - b } { (a - b)2 + (a - b)b + b2 }
= (a - 2b) { (a2 - 2ab + b2) + ab - b2 + b2 }
যোগ-বিয়োগ করে পাই:
= (a - 2b) (a2 - 2ab + ab + b2)
= (a - 2b) (a2 - ab + b2)
উত্তর: (a - 2b)(a2 - ab + b2)