অষ্টম শ্রেণি গণিত অধ্যায় ৪ বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও প্রয়োগ অনুশীলন ৪.২ সম্পূর্ণ সমাধান
সুপ্রিয় অষ্টম শ্রেণির শিক্ষার্থীবৃন্দ, তোমাদের গণিত বইয়ের চতুর্থ অধ্যায়টি বীজগণিতের ভিত্তির জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। বিশেষ করে অনুশীলনী ৪.২-এ ঘনের সূত্র এবং এর অনুসিদ্ধান্তগুলোর বাস্তব প্রয়োগ দেখানো হয়েছে। অনেক সময় সূত্র মনে থাকলেও তা অংকে প্রয়োগ করতে গিয়ে তোমরা দ্বিধায় পড়ে যাও। সেই সমস্যা দূর করতেই আমাদের এই বিশেষ আয়োজন।
নিচের গাইডে পাঠ্যবইয়ের পৃষ্ঠা ৫৭, ৫৯ ও ৬০-এর একক কাজ থেকে শুরু করে অনুশীলনী ৪.২ প্রতিটি অংকের (১-১৫) নির্ভুল ও ধাপে ধাপে সমাধান দেওয়া হয়েছে। তোমাদের সুবিধার্থে প্রতিটি সমাধানের সাথে প্রয়োজনীয় সাইড নোট এবং সূত্র উল্লেখ করা হয়েছে। সূচিপত্রে ক্লিক করে তোমরা মুহূর্তেই যেকোনো অংকের সমাধানে চলে যেতে পারবে। চলো, অনুশীলন শুরু করা যাক!
📌 সূচিপত্র: যে সমাধানে যেতে চান ক্লিক করুন
পৃষ্ঠা ৫৭ এর কাজ
১. ab + bc এর ঘন নির্ণয়
সমাধান:
এখানে প্রথম পদ = ab এবং দ্বিতীয় পদ = bc
ধাপ ১: সূত্রে সাজানো
= (ab + bc)3
= (ab)3 + 3(ab)2(bc) + 3(ab)(bc)2 + (bc)3
ধাপ ২: বর্গ ও গুণ
= a3b3 + 3(a2b2)(bc) + 3(ab)(b2c2) + b3c3
= a3b3 + 3a2b3c + 3ab3c2 + b3c3
উত্তর: a3b3 + 3a2b3c + 3ab3c2 + b3c3
২. 2x - 5y এর ঘন নির্ণয়
সমাধান:
এখানে a = 2x এবং b = 5y
ধাপ ১: সূত্রে সাজানো
= (2x - 5y)3
= (2x)3 - 3(2x)2(5y) + 3(2x)(5y)2 - (5y)3
ধাপ ২: বিস্তারিত হিসাব
- • (2x)3 = 8x3
- • 3 × (4x2) × 5y = 60x2y
- • 3 × 2x × (25y2) = 150xy2
- • (5y)3 = 125y3
= 8x3 - 60x2y + 150xy2 - 125y3
উত্তর: 8x3 - 60x2y + 150xy2 - 125y3
৩. 2x - 3y - z এর ঘন নির্ণয়
A = (2x - 3y) এবং B = z
ধাপ ১: সূত্রে সাজানো
= { (2x - 3y) - z }3
= (2x - 3y)3 - 3(2x - 3y)2z + 3(2x - 3y)z2 - z3
[সূত্র: (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3]
ধাপ ২: অংশগুলোর বিস্তার
এখন, (2x - 3y)3 এবং (2x - 3y)2 এর সূত্র ভাঙাতে হবে।
১ম অংশ: (2x - 3y)3
= (2x)3 - 3(2x)2(3y) + 3(2x)(3y)2 - (3y)3
= 8x3 - 36x2y + 54xy2 - 27y3
২য় অংশ: (2x - 3y)2
= (2x)2 - 2(2x)(3y) + (3y)2
= 4x2 - 12xy + 9y2
ধাপ ৩: মূল রাশিতে মান বসানো
= (8x3 - 36x2y + 54xy2 - 27y3) - 3z(4x2 - 12xy + 9y2) + 3z2(2x - 3y) - z3
ধাপ ৪: গুণ ও ফাইনাল লাইন
= 8x3 - 36x2y + 54xy2 - 27y3 - 12x2z + 36xyz - 27y2z + 6xz2 - 9yz2 - z3
উত্তর: 8x3 - 27y3 - z3 - 36x2y + 54xy2 - 12x2z + 36xyz - 27y2z + 6xz2 - 9yz2
পৃষ্ঠা ৫৯ এর কাজ
১. সরল করো: (7x - 6)3 - (5x - 6)3 - 6x(7x - 6)(5x - 6)
সমাধান:
ধরি,
a = 7x - 6
b = 5x - 6
এখন, (a - b) এর মান বের করি:
a - b = (7x - 6) - (5x - 6)
= 7x - 6 - 5x + 6
= 2x
6x(7x - 6)(5x - 6)।এখানে 6x কে আমরা লিখতে পারি
3 × 2x। আর আমরা জানি 2x মানেই (a - b)।সুতরাং, পদটি দাঁড়ায়:
3(a - b)ab বা 3ab(a - b)।
প্রদত্ত রাশি দাঁড়ায়:
= a3 - b3 - 3ab(a - b)
= (a - b)3 [ঘনফলের বিয়োগের অনুসিদ্ধান্ত]
মান বসানো:
= (2x)3 [যেহেতু a - b = 2x]
= 8x3
উত্তর: 8x3
২. a + b = 10 এবং ab = 21 হলে, a3 + b3 এর মান নির্ণয় করো।
দেওয়া আছে:
a + b = 10
ab = 21
আমরা জানি:
মান বসিয়ে পাই:
= (10)3 - 3 × 21 × 10
= 1000 - 63 × 10
= 1000 - 630
= 370
উত্তর: 370
৩. a + 1/a = 3 হলে, দেখাও যে, a3 + 1/a3 = 18
বামপক্ষ (L.H.S):
= a3 + 1/a3
= a3 + (1/a)3
সূত্র প্রয়োগ:
= (a + 1/a)3 - 3 · a · (1/a) · (a + 1/a)
= (a + 1/a)3 - 3(a + 1/a) [a এবং 1/a কাটা যায়]
মান বসানো:
= (3)3 - 3 × 3 [যেহেতু a + 1/a = 3]
= 27 - 9
= 18
= ডানপক্ষ (R.H.S)
(দেখানো হলো)
পৃষ্ঠা ৬০ এর কাজ
প্রশ্ন:
সূত্রের সাহায্যে (2a + 3b) ও (4a2 - 6ab + 9b2) এর গুণফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
প্রদত্ত রাশিদ্বয়ের গুণফল:
= (2a + 3b)(4a2 - 6ab + 9b2)
(x + y)(x2 - xy + y2) = x3 + y3
এখানে, x = 2a এবং y = 3b।
ধাপ ১: রাশিটিকে সূত্রে সাজানো
আমরা দ্বিতীয় অংশটিকে ভেঙে লিখি:
- (2a)2 = 4a2
- (2a)(3b) = 6ab
- (3b)2 = 9b2
সুতরাং, রাশিটি দাঁড়ায়:
= (2a + 3b) { (2a)2 - (2a)(3b) + (3b)2 }
ধাপ ২: সূত্র প্রয়োগ
এটি হুবহু a3 + b3 এর সূত্রের মতো।
= (2a)3 + (3b)3
ধাপ ৩: চূড়ান্ত হিসাব
= 8a3 + 27b3 [2 এর ঘন 8 এবং 3 এর ঘন 27]
উত্তর: 8a3 + 27b3
অনুশীলন ৪.২
১. সূত্রের সাহায্যে রাশিগুলোর ঘন নির্ণয় (ক থেকে ণ পর্যন্ত)
(ক) 3x + y
সমাধান:
= (3x + y)3
= (3x)3 + 3(3x)2(y) + 3(3x)(y)2 + y3
= 27x3 + 3(9x2)y + 3(3x)y2 + y3
= 27x3 + 27x2y + 9xy2 + y3
উত্তর: 27x3 + 27x2y + 9xy2 + y3
(খ) x2 + y
সমাধান:
= (x2 + y)3
= (x2)3 + 3(x2)2(y) + 3(x2)(y)2 + y3
= x6 + 3x4y + 3x2y2 + y3
উত্তর: x6 + 3x4y + 3x2y2 + y3
(গ) 5p + 2q
সমাধান:
= (5p + 2q)3
= (5p)3 + 3(5p)2(2q) + 3(5p)(2q)2 + (2q)3
= 125p3 + 3(25p2)(2q) + 3(5p)(4q2) + 8q3
= 125p3 + 150p2q + 60pq2 + 8q3
উত্তর: 125p3 + 150p2q + 60pq2 + 8q3
(ঘ) a2b + c2d
সমাধান:
= (a2b + c2d)3
= (a2b)3 + 3(a2b)2(c2d) + 3(a2b)(c2d)2 + (c2d)3
= a6b3 + 3(a4b2)(c2d) + 3(a2b)(c4d2) + c6d3
= a6b3 + 3a4b2c2d + 3a2bc4d2 + c6d3
উত্তর: a6b3 + 3a4b2c2d + 3a2bc4d2 + c6d3
(ঙ) 6p - 7
সমাধান:
= (6p - 7)3
= (6p)3 - 3(6p)2(7) + 3(6p)(7)2 - (7)3
= 216p3 - 3(36p2)(7) + 3(6p)(49) - 343
= 216p3 - 756p2 + 882p - 343
উত্তর: 216p3 - 756p2 + 882p - 343
(চ) ax - by
সমাধান:
= (ax - by)3
= (ax)3 - 3(ax)2(by) + 3(ax)(by)2 - (by)3
= a3x3 - 3a2x2by + 3axb2y2 - b3y3
উত্তর: a3x3 - 3a2x2by + 3axb2y2 - b3y3
(ছ) 2p2 - 3r2
সমাধান:
= (2p2 - 3r2)3
= (2p2)3 - 3(2p2)2(3r2) + 3(2p2)(3r2)2 - (3r2)3
= 8p6 - 3(4p4)(3r2) + 3(2p2)(9r4) - 27r6
= 8p6 - 36p4r2 + 54p2r4 - 27r6
উত্তর: 8p6 - 36p4r2 + 54p2r4 - 27r6
(জ) x3 + 2
সমাধান:
= (x3 + 2)3
= (x3)3 + 3(x3)2(2) + 3(x3)(2)2 + 23
= x9 + 6x6 + 12x3 + 8
উত্তর: x9 + 6x6 + 12x3 + 8
(ঝ) 2m + 3n - 5p
ধরি, A = (2m + 3n) এবং B = 5p। রাশিটি দাঁড়ায় (A - B)3।
ধাপ ১: সাজানো
= { (2m + 3n) - 5p }3
= (2m + 3n)3 - 3(2m + 3n)2(5p) + 3(2m + 3n)(5p)2 - (5p)3
ধাপ ২: ভেতরের অংশ ভাঙানো
১ম অংশ: (2m + 3n)3 = 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3
২য় অংশ: -15p(4m2 + 12mn + 9n2) = -60m2p - 180mnp - 135n2p
৩য় অংশ: 75p2(2m + 3n) = 150mp2 + 225np2
ধাপ ৩: সব একসাথে যোগ করা
= 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 - 60m2p - 180mnp - 135n2p + 150mp2 + 225np2 - 125p3
উত্তর: উপরের বড় রাশিটি
(ঞ) x2 - y2 + z2
কৌশল: আমরা (x2 - y2) কে একটি পদ ধরব।
= { (x2 - y2) + z2 }3
= (x2 - y2)3 + 3(x2 - y2)2(z2) + 3(x2 - y2)(z2)2 + (z2)3
বিস্তারিত বিস্তার:
1. (x2 - y2)3 = x6 - 3x4y2 + 3x2y4 - y6
2. 3z2(x4 - 2x2y2 + y4) = 3x4z2 - 6x2y2z2 + 3y4z2
3. 3z4(x2 - y2) = 3x2z4 - 3y2z4
সব মিলিয়ে:
উত্তর: x6 - y6 + z6 - 3x4y2 + 3x2y4 + 3x4z2 - 6x2y2z2 + 3y4z2 + 3x2z4 - 3y2z4
(ট) a2b2 - c2d2
সমাধান:
= (a2b2 - c2d2)3
= (a2b2)3 - 3(a2b2)2(c2d2) + 3(a2b2)(c2d2)2 - (c2d2)3
উত্তর: a6b6 - 3a4b4c2d2 + 3a2b2c4d4 - c6d6
(ঠ) a2b - b3c
সমাধান:
= (a2b - b3c)3
= (a2b)3 - 3(a2b)2(b3c) + 3(a2b)(b3c)2 - (b3c)3
= a6b3 - 3(a4b2)(b3c) + 3(a2b)(b6c2) - b9c3
উত্তর: a6b3 - 3a4b5c + 3a2b7c2 - b9c3
(ড) x3 - 2y3
সমাধান:
= (x3 - 2y3)3
= (x3)3 - 3(x3)2(2y3) + 3(x3)(2y3)2 - (2y3)3
= x9 - 6x6y3 + 12x3y6 - 8y9
উত্তর: x9 - 6x6y3 + 12x3y6 - 8y9
(ঢ) 11a - 12b
সমাধান:
= (11a - 12b)3
= (11a)3 - 3(11a)2(12b) + 3(11a)(12b)2 - (12b)3
= 1331a3 - 3(121a2)(12b) + 3(11a)(144b2) - 1728b3
= 1331a3 - 4356a2b + 4752ab2 - 1728b3
উত্তর: 1331a3 - 4356a2b + 4752ab2 - 1728b3
(ণ) x3 + y3
সমাধান:
= (x3 + y3)3
= (x3)3 + 3(x3)2(y3) + 3(x3)(y3)2 + (y3)3
= x9 + 3x6y3 + 3x3y6 + y9
উত্তর: x9 + 3x6y3 + 3x3y6 + y9
২. সরল করো (বিস্তারিত সমাধান)
(ক) (3x + y)3 + 3(3x + y)2(3x - y) + 3(3x + y)(3x - y)2 + (3x - y)3
সমাধান:
মনে করি,
a = 3x + y
b = 3x - y
তাহলে প্রদত্ত রাশিটি দাঁড়ায়:
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
= (a + b)3
এখন a ও b এর মান বসিয়ে পাই:
= { (3x + y) + (3x - y) }3
= (3x + y + 3x - y)3
= (6x)3 [y ও -y কাটা গেল]
= 216x3
উত্তর: 216x3
(খ) (2p + 5q)3 + 3(2p + 5q)2(5q - 2p) + 3(2p + 5q)(5q - 2p)2 + (5q - 2p)3
সমাধান:
মনে করি,
a = 2p + 5q
b = 5q - 2p
প্রদত্ত রাশি = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
= (a + b)3
মান বসিয়ে পাই:
= { (2p + 5q) + (5q - 2p) }3
= (2p + 5q + 5q - 2p)3
= (10q)3 [2p ও -2p কাটা গেল]
= 1000q3
উত্তর: 1000q3
(গ) (x + 2y)3 - 3(x + 2y)2(x - 2y) + 3(x + 2y)(x - 2y)2 - (x - 2y)3
সমাধান:
মনে করি,
a = x + 2y
b = x - 2y
প্রদত্ত রাশি = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
= (a - b)3
মান বসিয়ে পাই:
= { (x + 2y) - (x - 2y) }3
= (x + 2y - x + 2y)3 [মাইনাসের কারণে পরের চিহ্ন বদলে গেল]
= (4y)3 [x ও -x কাটা গেল]
= 64y3
উত্তর: 64y3
(ঘ) (6m + 2)3 - 3(6m + 2)2(6m - 4) + 3(6m + 2)(6m - 4)2 - (6m - 4)3
সমাধান:
মনে করি,
a = 6m + 2
b = 6m - 4
প্রদত্ত রাশি = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
= (a - b)3
মান বসিয়ে পাই:
= { (6m + 2) - (6m - 4) }3
= (6m + 2 - 6m + 4)3
= (6)3 [6m কাটা গেল; 2+4=6]
= 216
উত্তর: 216
(ঙ) (x - y)3 + (x + y)3 + 6x(x2 - y2)
সমাধান:
6x(x2 - y2) = 3 · 2x · (x + y)(x - y)
মনে করি,
a = x + y
b = x - y
এখন, a + b = (x + y) + (x - y) = 2x
প্রদত্ত রাশি সাজিয়ে লিখি:
= (x + y)3 + (x - y)3 + 3 · 2x · (x2 - y2) [ক্রম পরিবর্তন করে]
= (x + y)3 + (x - y)3 + 3(2x)(x + y)(x - y)
a ও b এর মাধ্যমে প্রকাশ করি:
= a3 + b3 + 3(a + b)ab [যেহেতু 2x = a+b]
= a3 + b3 + 3ab(a + b)
= (a + b)3
মান বসিয়ে পাই:
= (2x)3
= 8x3
উত্তর: 8x3
প্রশ্ন ৩ থেকে ১৪ এর বিস্তারিত সমাধান
৩. a + b = 8 এবং ab = 15 হলে, a3 + b3 এর মান কত?
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = a3 + b3
= (8)3 - 3 × 15 × 8 [মান বসিয়ে]
= 512 - 360
= 152
উত্তর: 152
৪. x + y = 2 হলে, দেখাও যে, x3 + y3 + 6xy = 8
বামপক্ষ = x3 + y3 + 6xy
= (x + y)3 - 3xy(x + y) + 6xy [সূত্র প্রয়োগ]
= (2)3 - 3xy(2) + 6xy [মান বসিয়ে]
= 8 - 6xy + 6xy
= 8
= ডানপক্ষ
(দেখানো হলো)
৫. 2x + 3y = 13 এবং xy = 6 হলে, 8x3 + 27y3 এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = (2x)3 + (3y)3
এখানে a = 2x এবং b = 3y
= (2x + 3y)3 - 3(2x)(3y)(2x + 3y)
= (13)3 - 18xy(13)
= 2197 - 18 × 6 × 13 [xy এর মান বসিয়ে]
= 2197 - 1404
= 793
উত্তর: 793
৬. p - q = 5, pq = 3 হলে, p3 - q3 এর মান কত?
= (p - q)3 + 3pq(p - q)
= (5)3 + 3 × 3 × 5
= 125 + 45
= 170
উত্তর: 170
৭. x - 2y = 3 হলে, x3 - 8y3 - 18xy এর মান কত?
সমাধান:
= x3 - (2y)3 - 18xy
= (x - 2y)3 + 3 · x · 2y (x - 2y) - 18xy [সূত্র প্রয়োগ]
= (3)3 + 6xy(3) - 18xy
= 27 + 18xy - 18xy
= 27
উত্তর: 27
৮. 4x - 3 = 5 হলে, প্রমাণ করো যে, 64x3 - 27 - 180x = 125
বামপক্ষ = 64x3 - 27 - 180x
= (4x)3 - (3)3 - 180x
= (4x - 3)3 + 3(4x)(3)(4x - 3) - 180x
= (5)3 + 36x(5) - 180x [মান বসিয়ে]
= 125 + 180x - 180x
= 125
= ডানপক্ষ
(প্রমাণিত)
৯. a = -3 এবং b = 2 হলে, 8a3 + 36a2b + 54ab2 + 27b3 এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
= (2a)3 + 3(2a)2(3b) + 3(2a)(3b)2 + (3b)3
= (2a + 3b)3
= { 2(-3) + 3(2) }3 [মান বসিয়ে]
= (-6 + 6)3
= (0)3
= 0
উত্তর: 0
১০. a = 7 হলে, a3 + 6a2 + 12a + 1 এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
= a3 + 3 · a2 · 2 + 3 · a · 22 + 23 - 7
= (a + 2)3 - 7
= (7 + 2)3 - 7
= (9)3 - 7
= 729 - 7
= 722
উত্তর: 722
১১. x = 5 হলে, x3 - 12x2 + 48x - 64 এর মান কত?
সমাধান:
= x3 - 3 · x2 · 4 + 3 · x · 42 - 43
= (x - 4)3 [সরাসরি সূত্র]
= (5 - 4)3
= (1)3
= 1
উত্তর: 1
১২. a2 + b2 = c2 হলে, প্রমাণ করো যে, a6 + b6 + 3a2b2c2 = c6
সমাধান:
দেওয়া আছে: a2 + b2 = c2
বামপক্ষ (L.H.S): a6 + b6 + 3a2b2c2
a6 কে আমরা (a2)3 লিখতে পারি।
= (a2)3 + (b2)3 + 3a2b2c2
এখন, a3 + b3 এর অনুসিদ্ধান্ত প্রয়োগ করি (যেখানে a এর জায়গায় a2 এবং b এর জায়গায় b2):
সূত্র: (x + y)3 - 3xy(x + y)
= (a2 + b2)3 - 3(a2)(b2)(a2 + b2) + 3a2b2c2
মান বসানো:
= (c2)3 - 3a2b2(c2) + 3a2b2c2 [a2+b2 এর পরিবর্তে c2 বসিয়ে]
হিসাব:
= c6 - 3a2b2c2 + 3a2b2c2
এখানে -3a2b2c2 এবং +3a2b2c2 কাটাকাটি যায়।
= c6
= ডানপক্ষ (R.H.S)
(প্রমাণিত)
১৩. x + 1/x = 4 হলে, প্রমাণ করো যে, x3 + 1/x3 = 52
সমাধান:
দেওয়া আছে: x + 1/x = 4
বামপক্ষ: x3 + 1/x3
= (x)3 + (1/x)3
= (x + 1/x)3 - 3 · x · (1/x) · (x + 1/x)
= (x + 1/x)3 - 3(x + 1/x) [x এবং 1/x কাটা যায়]
মান বসানো:
= (4)3 - 3(4)
= 64 - 12
= 52
= ডানপক্ষ
(প্রমাণিত)
১৪. a - 1/a = 5 হলে, a3 - 1/a3 এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে: a - 1/a = 5
প্রদত্ত রাশি: a3 - 1/a3
= (a)3 - (1/a)3
(যেহেতু মান মাইনাসে দেওয়া আছে, তাই মাইনাসের সূত্র ব্যবহার করব এবং বাইরে প্লাস হবে)
= (a - 1/a)3 + 3 · a · (1/a) · (a - 1/a)
= (a - 1/a)3 + 3(a - 1/a) [a এবং 1/a কাটা]
মান বসানো:
= (5)3 + 3(5)
= 125 + 15
= 140
উত্তর: 140
প্রশ্ন ১৫: সূত্রের সাহায্যে গুণফল নির্ণয় ( সমাধান)
(ক) (a2 + b2)(a4 - a2b2 + b4)
ধাপ ১: সূত্র আকারে সাজানো
এখানে 1ম পদ = a2 এবং 2য় পদ = b2
= (a2 + b2) { (a2)2 - (a2)(b2) + (b2)2 }
ধাপ ২: সূত্র প্রয়োগ
এটি (x + y)(x2 - xy + y2) = x3 + y3 এর সূত্র।
= (a2)3 + (b2)3
ধাপ ৩: সূচকের গুণ
= a6 + b6 [পাওয়ারে পাওয়ারে গুণ হয়: 2×3=6]
উত্তর: a6 + b6
(খ) (ax - by)(a2x2 + abxy + b2y2)
ধাপ ১: সাজানো
এখানে A = ax এবং B = by
= (ax - by) { (ax)2 + (ax)(by) + (by)2 }
ধাপ ২: সূত্র প্রয়োগ ও ফলাফল
= (ax)3 - (by)3
= a3x3 - b3y3
উত্তর: a3x3 - b3y3
(গ) (2ab2 - 1)(4a2b4 + 2ab2 + 1)
সমাধান:
এখানে 1ম পদ = 2ab2 এবং 2য় পদ = 1
সাজানো:
= (2ab2 - 1) { (2ab2)2 + (2ab2)(1) + (1)2 }
সূত্র প্রয়োগ (মাইনাসের সূত্র):
= (2ab2)3 - (1)3
হিসাব:
= 8a3b6 - 1 [2 এর কিউব 8; b2 এর কিউব b6]
উত্তর: 8a3b6 - 1
(ঘ) (x2 + a)(x4 - ax2 + a2)
সমাধান:
= (x2 + a) { (x2)2 - (x2)(a) + (a)2 }
এটি a3 + b3 এর প্যাটার্নে পড়েছে।
= (x2)3 + (a)3
= x6 + a3
উত্তর: x6 + a3
(ঙ) (7a + 4b)(49a2 - 28ab + 16b2)
সমাধান:
এখানে 1ম পদ = 7a এবং 2য় পদ = 4b
সাজানো:
= (7a + 4b) { (7a)2 - (7a)(4b) + (4b)2 }
সূত্র প্রয়োগ:
= (7a)3 + (4b)3
হিসাব:
- 73 = 7 × 7 × 7 = 343
- 43 = 4 × 4 × 4 = 64
= 343a3 + 64b3
উত্তর: 343a3 + 64b3
(চ) (2a - 1)(4a2 + 2a + 1)(8a3 + 1)
ধাপ ১: ১ম ও ২য় রাশির কাজ
(2a - 1)(4a2 + 2a + 1)
= (2a - 1) { (2a)2 + (2a)(1) + (1)2 }
= (2a)3 - (1)3
= 8a3 - 1
ধাপ ২: প্রাপ্ত ফলের সাথে ৩য় রাশির গুণ
এখন রাশিটি দাঁড়ায়: (8a3 - 1) × (8a3 + 1)
এটি (A - B)(A + B) = A2 - B2 এর সূত্রে পড়ে।
= (8a3)2 - (1)2
= 64a6 - 1
উত্তর: 64a6 - 1
(ছ) (x + a)(x2 - ax + a2)(x - a)(x2 + ax + a2)
সমাধান:
এখানে ৪টি রাশি আছে। আমরা এদের জোড়ায় জোড়ায় সাজাব।
ধাপ ১: সাজানো
= { (x + a)(x2 - ax + a2) } × { (x - a)(x2 + ax + a2) }
ধাপ ২: সূত্র প্রয়োগ
১ম অংশ থেকে পাই: (x3 + a3)
২য় অংশ থেকে পাই: (x3 - a3)
ধাপ ৩: শেষ গুণফল
এখন রাশিটি হলো: (x3 + a3)(x3 - a3)
= (x3)2 - (a3)2 [(A+B)(A-B) সূত্র]
= x6 - a6
উত্তর: x6 - a6
(জ) (5a + 3b)(25a2 - 15ab + 9b2)(125a3 - 27b3)
সমাধান:
ধাপ ১: ১ম ও ২য় রাশির গুণ
= (5a + 3b) { (5a)2 - (5a)(3b) + (3b)2 }
= (5a)3 + (3b)3
= 125a3 + 27b3
ধাপ ২: ৩য় রাশির সাথে গুণ
এখন আমাদের কাছে আছে:
= (125a3 + 27b3) × (125a3 - 27b3)
এটি (A + B)(A - B) এর সূত্র।
= (125a3)2 - (27b3)2
ধাপ ৩: চূড়ান্ত হিসাব
- 125 × 125 = 15625
- 27 × 27 = 729
= 15625a6 - 729b6
উত্তর: 15625a6 - 729b6