অষ্টম শ্রেণি গণিত অধ্যায় ৪ বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও প্রয়োগ অনুশীলন ৪.১ সম্পূর্ণ সমাধান
অষ্টম শ্রেণির গণিত বইয়ের চতুর্থ অধ্যায়টি বীজগণিতের প্রবেশদ্বার। বিশেষ করে অনুশীলনী ৪.১-এ বর্গের সূত্র (a+b)2 এবং (a-b)2 এর ব্যবহারিক প্রয়োগ শেখানো হয়েছে। বীজগণিতের এই ভিত্তি মজবুত না হলে ওপরের ক্লাসে গণিত বোঝা কঠিন হয়ে পড়ে।
নিচের গাইডে আমরা পাঠ্যবইয়ের পৃষ্ঠা ৫০, ৫২ ও ৫৩-এর একক কাজ থেকে শুরু করে অনুশীলনী ৪.১ প্রতিটি অংকের (১-১৪) নির্ভুল সমাধান দিয়েছি। এখানে কেবল উত্তর মেলানো হয়নি, বরং প্রতিটি অংকে কোন সূত্রটি কেন ব্যবহার করা হলো—তা সাইড নোটে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। সৃজনশীল অংশসহ সম্পূর্ণ সমাধানটি নিচে ধাপে ধাপে দেখে নাও।
📌 সূচিপত্র (ক্লিক করে দ্রুত যান)
বীজগাণিতিক সূত্রাবলি
১. বর্গের মূল সূত্র
| ১. |
(a + b)2 |
= a2 + 2ab + b2 |
| ২. |
(a - b)2 |
= a2 - 2ab + b2 |
| ৩. |
a2 - b2 |
= (a + b)(a - b) [উৎপাদকের জন্য] |
| ৪. |
(x + a)(x + b) |
= x2 + (a + b)x + ab |
| ৫. |
(a + b + c)2 |
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca |
২. মান নির্ণয়ের অনুসিদ্ধান্ত
| ৬. |
a2 + b2 |
= (a + b)2 - 2ab |
| ৭. |
a2 + b2 |
= (a - b)2 + 2ab |
| ৮. |
a2 + b2 |
= {(a + b)2 + (a - b)2} / 2 |
| ৯. |
(a + b)2 |
= (a - b)2 + 4ab |
| ১০. |
(a - b)2 |
= (a + b)2 - 4ab |
| ১১. |
4ab |
= (a + b)2 - (a - b)2 |
| ১২. |
2(a2 + b2) |
= (a + b)2 + (a - b)2 |
| ১৩. |
ab |
= {(a + b)/2}2 - {(a - b)/2}2 |
| ১৪. |
a2+b2+c2 |
= (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca) |
৩. ঘনফলের সূত্র
| ১৫. |
(a + b)3 |
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| ১৬. |
(a + b)3 |
= a3 + b3 + 3ab(a + b) |
| ১৭. |
(a - b)3 |
= a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 |
| ১৮. |
(a - b)3 |
= a3 - b3 - 3ab(a - b) |
| ১৯. |
a3 + b3 |
= (a + b)(a2 - ab + b2) [উৎপাদক] |
| ২০. |
a3 - b3 |
= (a - b)(a2 + ab + b2) [উৎপাদক] |
৪. ঘনফলের মান নির্ণয়
| ২১. |
a3 + b3 |
= (a + b)3 - 3ab(a + b) [মান নির্ণয়] |
| ২২. |
a3 - b3 |
= (a - b)3 + 3ab(a - b) [মান নির্ণয়] |
অষ্টম শ্রেণি | গণিত | পৃষ্ঠা ৫০ এর কাজ
১. প্রশ্ন: 2a + 5b এর বর্গ নির্ণয় করো।
ব্যাখ্যা ও সমাধান:
আমাদের (2a + 5b) এর বর্গ নির্ণয় করতে হবে। যেহেতু মাঝখানে যোগ চিহ্ন (+) আছে, তাই আমরা বর্গের প্রথম সূত্রটি ব্যবহার করব।
সূত্র: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
এখানে,
প্রথম পদ, a = 2a
দ্বিতীয় পদ, b = 5b
ধাপ ১ (সূত্রে সাজানো):
= (প্রথম পদ)2 + ২ × প্রথম পদ × দ্বিতীয় পদ + (দ্বিতীয় পদ)2
= (2a)2 + 2 × (2a) × (5b) + (5b)2
ধাপ ২ (হিসাব):
• (2a)2 = 22 × a2 = 4a2
• 2 × 2a × 5b = (2 × 2 × 5)ab = 20ab
• (5b)2 = 52 × b2 = 25b2
উত্তর: 4a2 + 20ab + 25b2
২. প্রশ্ন: 4x - 7 এর বর্গ নির্ণয় করো।
ব্যাখ্যা ও সমাধান:
এখানে রাশিটি হলো (4x - 7)। যেহেতু মাঝখানে বিয়োগ চিহ্ন (-) আছে, তাই আমরা বর্গের দ্বিতীয় সূত্রটি ব্যবহার করব।
সূত্র: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
এখানে,
প্রথম পদ, a = 4x
দ্বিতীয় পদ, b = 7
ধাপ ১ (সূত্রে সাজানো):
= (4x)2 - 2 × (4x) × 7 + (7)2
ধাপ ২ (হিসাব):
• (4x)2 = 16x2
• 2 × 4x × 7 = (2 × 4 × 7)x = 56x
• (7)2 = 49
উত্তর: 16x2 - 56x + 49
৩. প্রশ্ন: a + b = 7 এবং ab = 9 হলে, a2 + b2 এর মান নির্ণয় করো।
ব্যাখ্যা ও সমাধান:
আমাদের কাছে (a + b) এর মান দেওয়া আছে। তাই আমাদের এমন একটি অনুসিদ্ধান্ত বা সূত্র নিতে হবে যেখানে (a + b) ব্যবহার করা যায়।
অনুসিদ্ধান্ত: a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
দেওয়া আছে:
a + b = 7
ab = 9
ধাপ ১ (মান বসানো):
প্রদত্ত রাশি = a2 + b2
= (7)2 - 2 × 9 [(a+b) এর জায়গায় 7 এবং ab এর জায়গায় 9 বসিয়ে]
ধাপ ২ (হিসাব):
= 49 - 18
= 31
উত্তর: 31
৪. প্রশ্ন: x - y = 5 এবং xy = 6 হলে, (x + y)2 এর মান নির্ণয় করো।
ব্যাখ্যা ও সমাধান:
লক্ষ্য করুন, আমাদের কাছে (x - y) এর মান আছে, কিন্তু মান বের করতে হবে (x + y)2 এর। অর্থাৎ, আমাদের মাইনাস (-) থেকে প্লাস (+) এ যেতে হবে। এজন্য আমরা বর্গের রূপান্তরের অনুসিদ্ধান্তটি ব্যবহার করব।
অনুসিদ্ধান্ত: (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab
দেওয়া আছে:
x - y = 5
xy = 6
ধাপ ১ (মান বসানো):
আমরা জানি,
(x + y)2 = (x - y)2 + 4xy
= (5)2 + 4 × 6 [মান বসিয়ে]
ধাপ ২ (হিসাব):
= 25 + 24
= 49
উত্তর: 49
অষ্টম শ্রেণি | গণিত | কাজ (পৃষ্ঠা ৫২)
১. প্রশ্ন: সূত্রের সাহায্যে (5x + 7y) ও (5x - 7y) এর গুণফল নির্ণয় করো।
ব্যাখ্যা ও সমাধান:
এখানে দুটি রাশি একই, শুধু মাঝখানের চিহ্ন ভিন্ন (একটি +, অন্যটি -)। তাই আমরা বর্গের বিয়োগফলের সূত্রটি ব্যবহার করব।
সূত্র: (a + b)(a - b) = a2 - b2
এখানে,
প্রথম পদ, a = 5x
দ্বিতীয় পদ, b = 7y
ধাপ ১ (সূত্রে সাজানো):
প্রদত্ত রাশি = (5x + 7y)(5x - 7y)
= (5x)2 - (7y)2
ধাপ ২ (হিসাব):
• (5x)2 = 25x2
• (7y)2 = 49y2
উত্তর: 25x2 - 49y2
২. প্রশ্ন: সূত্রের সাহায্যে (x + 10) ও (x - 14) এর গুণফল নির্ণয় করো।
ব্যাখ্যা ও সমাধান:
এখানে প্রথম পদ (x) মিল আছে, কিন্তু দ্বিতীয় পদ দুটি ভিন্ন (10 এবং -14)। তাই আমরা নিচের সূত্রটি ব্যবহার করব।
সূত্র: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
এখানে,
x = x
a = 10
b = -14 (লক্ষ্য করুন: এখানে মাইনাস চিহ্নসহ নিতে হবে)
ধাপ ১ (সূত্রে সাজানো):
= x2 + (10 - 14)x + (10) × (-14)
ধাপ ২ (হিসাব):
= x2 + (-4)x - 140
= x2 - 4x - 140
উত্তর: x2 - 4x - 140
৩. প্রশ্ন: (4x - 3y)(6x + 5y) কে দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করো।
ব্যাখ্যা ও সমাধান:
দুইটি রাশির গুণফলকে বর্গের অন্তররূপে (বিয়োগফল রূপে) প্রকাশ করতে আমরা 'ab' এর সূত্র ব্যবহার করি।
সূত্র: ab = { (a + b) / 2 }2 - { (a - b) / 2 }2
ধরি,
a = 4x - 3y
b = 6x + 5y
ধাপ ১ (সূত্রে মান বসানো):
= { (4x - 3y + 6x + 5y) / 2 }2 - { (4x - 3y) - (6x + 5y) / 2 }2
ধাপ ২ (ব্র্যাকেট উঠিয়ে যোগ-বিয়োগ):
= { (10x + 2y) / 2 }2 - { (4x - 3y - 6x - 5y) / 2 }2 [মাইনাসের কারণে পরের চিহ্ন বদলে গেছে]
= { (10x + 2y) / 2 }2 - { (-2x - 8y) / 2 }2
ধাপ ৩ (কমন নেওয়া ও কাটাকাটি):
= { 2(5x + y) / 2 }2 - { -2(x + 4y) / 2 }2
= (5x + y)2 - { -(x + 4y) }2
বিশেষ নোট: মাইনাস সংখ্যার বর্গ করলে তা প্লাস হয়ে যায়। অর্থাৎ, (-z)2 = z2। তাই আমরা মাইনাস বাদ দিতে পারি।
= (5x + y)2 - (x + 4y)2
উত্তর: (5x + y)2 - (x + 4y)2
অষ্টম শ্রেণি | গণিত | কাজ (পৃষ্ঠা ৫৩)
প্রয়োজনীয় সূত্র:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
১. প্রশ্ন: ax + by + c এর বর্গ নির্ণয় করো।
ব্যাখ্যা ও সমাধান:
এখানে তিনটি পদ আছে। আমরা ৩ পদের বর্গের সূত্রটি ব্যবহার করব।
ধরি,
১ম পদ = ax
২য় পদ = by
৩য় পদ = c
ধাপ ১ (সূত্রে সাজানো):
প্রদত্ত রাশি = (ax + by + c)2
= (ax)2 + (by)2 + (c)2 + 2(ax)(by) + 2(by)(c) + 2(c)(ax)
ধাপ ২ (গুণ ও হিসাব):
• (ax)2 = a2x2
• 2(ax)(by) = 2abxy
• বাকিগুলোও একইভাবে গুণ করা হয়েছে।
= a2x2 + b2y2 + c2 + 2abxy + 2bcy + 2cax
উত্তর: a2x2 + b2y2 + c2 + 2abxy + 2bcy + 2cax
২. প্রশ্ন: 4x + 5y - 7z এর বর্গ নির্ণয় করো।
ব্যাখ্যা ও সমাধান:
লক্ষ্য করুন, এখানে ৩য় পদটির আগে বিয়োগ চিহ্ন (-) আছে। সূত্রের সব জায়গায় প্লাস (+) থাকে, তাই আমরা মাইনাস চিহ্নটিকে ব্র্যাকেটের ভেতরে নিয়ে সূত্র প্রয়োগ করব।
সাজিয়ে লিখি: { 4x + 5y + (-7z) }2
এখানে,
১ম পদ (a) = 4x
২য় পদ (b) = 5y
৩য় পদ (c) = -7z (চিহ্নসহ নিতে হবে)
ধাপ ১ (সূত্রে মান বসানো):
= (4x)2 + (5y)2 + (-7z)2 + 2(4x)(5y) + 2(5y)(-7z) + 2(-7z)(4x)
ধাপ ২ (বিস্তারিত হিসাব):
• (4x)2 = 16x2
• (5y)2 = 25y2
• (-7z)2 = 49z2 [মাইনাসে মাইনাসে প্লাস হয়ে যায়]
• 2 × 4x × 5y = 40xy
• 2 × 5y × (-7z) = -70yz [প্লাসে মাইনাসে মাইনাস]
• 2 × (-7z) × 4x = -56zx
ধাপ ৩ (ফাইনাল লাইন):
= 16x2 + 25y2 + 49z2 + 40xy - 70yz - 56zx
উত্তর: 16x2 + 25y2 + 49z2 + 40xy - 70yz - 56zx
অনুশীলন ৪.১ সমাধান
প্রশ্ন ১: সূত্রের সাহায্যে বর্গ নির্ণয় (বিস্তারিত সমাধান)
(ক) 5a + 7b এর বর্গ নির্ণয়
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = (5a + 7b)2
💡 ব্যাখ্যা: এখানে মাঝখানে যোগ (+) চিহ্ন আছে, তাই আমরা (a + b)2 এর সূত্র ব্যবহার করব।
এখানে, ১ম পদ (a) = 5a এবং ২য় পদ (b) = 7b।
= (5a)2 + 2 × (5a) × (7b) + (7b)2
= 25a2 + 70ab + 49b2 [5 এর বর্গ 25 এবং 7 এর বর্গ 49]
উত্তর: 25a2 + 70ab + 49b2
(খ) 6x + 3 এর বর্গ নির্ণয়
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = (6x + 3)2
💡 ব্যাখ্যা: ১ম পদ = 6x এবং ২য় পদ = 3। সূত্র: a2 + 2ab + b2
= (6x)2 + 2 × (6x) × 3 + (3)2
= 36x2 + 36x + 9 [6 এর বর্গ 36; এবং 2×6×3 = 36]
উত্তর: 36x2 + 36x + 9
(গ) 7p - 2q এর বর্গ নির্ণয়
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = (7p - 2q)2
💡 ব্যাখ্যা: এখানে মাঝখানে বিয়োগ (-) চিহ্ন আছে, তাই (a - b)2 এর সূত্র হবে।
সূত্র: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
= (7p)2 - 2 × (7p) × (2q) + (2q)2
= 49p2 - 28pq + 4q2 [2 × 7 × 2 = 28]
উত্তর: 49p2 - 28pq + 4q2
(ঘ) ax - by এর বর্গ নির্ণয়
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = (ax - by)2
= (ax)2 - 2 × (ax) × (by) + (by)2
= a2x2 - 2abxy + b2y2
উত্তর: a2x2 - 2abxy + b2y2
(ঙ) x3 + xy এর বর্গ নির্ণয়
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = (x3 + xy)2
💡 সতর্কতা: সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, পাওয়ারের ওপর পাওয়ার থাকলে গুণ হয়। যেমন: (x3)2 = x3×2 = x6।
= (x3)2 + 2 × x3 × xy + (xy)2
= x6 + 2x4y + x2y2 [x3 এবং x গুণ করলে x4 হয়]
উত্তর: x6 + 2x4y + x2y2
(চ) 11a - 12b এর বর্গ নির্ণয়
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = (11a - 12b)2
= (11a)2 - 2 × (11a) × (12b) + (12b)2
= 121a2 - 264ab + 144b2
* নোট: 11 × 11 = 121
* নোট: 12 × 12 = 144
* নোট: 2 × 11 × 12 = 264
উত্তর: 121a2 - 264ab + 144b2
(ছ) 6x2y - 5xy2 এর বর্গ নির্ণয়
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = (6x2y - 5xy2)2
= (6x2y)2 - 2 × (6x2y) × (5xy2) + (5xy2)2
= 36x4y2 - 60x3y3 + 25x2y4
উত্তর: 36x4y2 - 60x3y3 + 25x2y4
(জ) -x - y এর বর্গ নির্ণয়
সমাধান:
💡 কৌশল: দুইটি পদই মাইনাস (-) হলে আমরা মাইনাস কমন নিয়ে সহজে করতে পারি।
রাশিটি = {-(x + y)}
প্রদত্ত রাশি = (-x - y)2
= {-(x + y)}2 [মাইনাস কমন নিয়ে]
= (x + y)2 [মাইনাস এর বর্গ করলে তা প্লাস হয়ে যায়]
= x2 + 2xy + y2
উত্তর: x2 + 2xy + y2
(ঝ) -xyz - abc এর বর্গ নির্ণয়
সমাধান:
একইভাবে মাইনাস কমন নিয়ে পাই:
প্রদত্ত রাশি = (-xyz - abc)2
= {-(xyz + abc)}2
= (xyz + abc)2
= (xyz)2 + 2(xyz)(abc) + (abc)2
উত্তর: x2y2z2 + 2abcxyz + a2b2c2
(ঞ) a2x3 - b2y4 এর বর্গ নির্ণয়
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = (a2x3 - b2y4)2
= (a2x3)2 - 2(a2x3)(b2y4) + (b2y4)2
= a4x6 - 2a2b2x3y4 + b4y8
উত্তর: a4x6 - 2a2b2x3y4 + b4y8
(ট) 108 এর বর্গ নির্ণয়
সমাধান:
💡 নিয়ম: সংখ্যাটিকে এমন দুটি সংখ্যার যোগফল বা বিয়োগফল হিসেবে লিখতে হবে যেন বর্গ করা সহজ হয়। 108 কে আমরা (100 + 8) লিখতে পারি।
∴ (108)2 = (100 + 8)2
= (100)2 + 2 × 100 × 8 + (8)2
= 10000 + 1600 + 64
= 11664
উত্তর: 11664
(ঠ) 606 এর বর্গ নির্ণয়
সমাধান:
এখানে 606 = 600 + 6
∴ (606)2 = (600 + 6)2
= (600)2 + 2 × 600 × 6 + (6)2
= 360000 + 7200 + 36
= 367236
উত্তর: 367236
(ড) 597 এর বর্গ নির্ণয়
সমাধান:
💡 ব্যাখ্যা: 597 সংখ্যাটি 600 এর খুব কাছে। তাই আমরা (600 - 3) ধরলে হিসাব সহজ হবে।
∴ (597)2 = (600 - 3)2
= (600)2 - 2 × 600 × 3 + (3)2
= 360000 - 3600 + 9
= 356400 + 9
= 356409
উত্তর: 356409
৩ পদের বর্গের সূত্র
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
(ঢ) a - b + c এর বর্গ নির্ণয়
সমাধান:
এখানে ২য় পদটি মাইনাস (-b)। আমরা এটিকে প্লাস আকারে সাজিয়ে নিব:
প্রদত্ত রাশি = {a + (-b) + c}2
= a2 + (-b)2 + c2 + 2(a)(-b) + 2(-b)(c) + 2(c)(a)
= a2 + b2 + c2 - 2ab - 2bc + 2ca
* প্লাসে-মাইনাসে মাইনাস হয়, তাই 2ab এবং 2bc এর আগে মাইনাস হয়েছে।
উত্তর: a2 + b2 + c2 - 2ab - 2bc + 2ca
(ণ) ax + b + 2 এর বর্গ নির্ণয়
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = (ax + b + 2)2
এখানে, a = ax, b = b, c = 2
= (ax)2 + b2 + 22 + 2(ax)(b) + 2(b)(2) + 2(2)(ax)
= a2x2 + b2 + 4 + 2abx + 4b + 4ax
উত্তর: a2x2 + b2 + 4 + 2abx + 4b + 4ax
(ত) xy + yz - zx এর বর্গ নির্ণয়
সমাধান:
এখানে ৩য় পদটি নেগেটিভ (-zx)। সাজিয়ে পাই:
= {xy + yz + (-zx)}2
= (xy)2 + (yz)2 + (-zx)2 + 2(xy)(yz) + 2(yz)(-zx) + 2(-zx)(xy)
= x2y2 + y2z2 + z2x2 + 2xy2z - 2xyz2 - 2x2yz
উত্তর: x2y2 + y2z2 + z2x2 + 2xy2z - 2xyz2 - 2x2yz
(থ) 3p + 2q - 5r এর বর্গ নির্ণয়
সমাধান:
এখানে, a = 3p, b = 2q, c = -5r
= {3p + 2q + (-5r)}2
= (3p)2 + (2q)2 + (-5r)2 + 2(3p)(2q) + 2(2q)(-5r) + 2(-5r)(3p)
= 9p2 + 4q2 + 25r2 + 12pq - 20qr - 30rp
উত্তর: 9p2 + 4q2 + 25r2 + 12pq - 20qr - 30rp
(দ) x2 - y2 - z2 এর বর্গ নির্ণয়
সমাধান:
💡 সতর্কতা: এখানে ২য় এবং ৩য় পদ উভয়ই নেগেটিভ।
সাজিয়ে পাই: {x2 + (-y2) + (-z2)}
প্রদত্ত রাশি = {x2 + (-y2) + (-z2)}2
= (x2)2 + (-y2)2 + (-z2)2 + 2(x2)(-y2) + 2(-y2)(-z2) + 2(-z2)(x2)
= x4 + y4 + z4 - 2x2y2 + 2y2z2 - 2z2x2
* বিশেষ নোট: 2(-y2)(-z2) গুণ করলে মাইনাসে মাইনাসে প্লাস হয়ে যায়, তাই +2y2z2 হয়েছে।
উত্তর: x4 + y4 + z4 - 2x2y2 + 2y2z2 - 2z2x2
প্রশ্ন ২: সরল কর
(ক) (x + y)2 + 2(x + y)(x - y) + (x - y)2
ধাপ ১: চলক ধরা
এখানে দুটি অংশ বারবার আছে: (x + y) এবং (x - y)। অংকটি সহজ করতে আমরা এদের ছোট চলক ধরে নেব।
- ধরি, a = x + y
- এবং, b = x - y
ধাপ ২: প্রদত্ত রাশি সাজানো
এখন মূল অংকে মানগুলো বসালে পাই:
= a2 + 2ab + b2
💡 এটি (a + b)2 এর সূত্র।
= (a + b)2
ধাপ ৩: মান বসানো ও সমাধান
এখন a এবং b এর আসল মান বসিয়ে পাই:
= { (x + y) + (x - y) }2
= (x + y + x - y)2 [ব্র্যাকেট উঠিয়ে দিলাম]
= (2x)2 [কারণ +y এবং -y কাটা যায়; x + x = 2x]
= 4x2
উত্তর: 4x2
(খ) (2a + 3b)2 - 2(2a + 3b)(3b - a) + (3b - a)2
ধাপ ১: চলক ধরা
- ধরি, x = 2a + 3b
- এবং, y = 3b - a
ধাপ ২: প্রদত্ত রাশি সাজানো
মূল অংকে মান বসালে পাই:
= x2 - 2xy + y2
💡 এটি (x - y)2 এর সূত্র (যেহেতু মাঝে মাইনাস আছে)।
= (x - y)2
ধাপ ৩: মান বসানো ও সমাধান
= { (2a + 3b) - (3b - a) }2
⚠️ সতর্কতা: মাইনাস (-) চিহ্ন থাকার কারণে ব্র্যাকেটের ভেতরের চিহ্ন উল্টে যাবে।
অর্থাৎ, -(3b - a) হয়ে যাবে -3b + a।
= (2a + 3b - 3b + a)2
= (3a)2 [+3b এবং -3b কাটা; 2a + a = 3a]
= 9a2
উত্তর: 9a2
(গ) (3x2 + 7y2)2 + 2(3x2 + 7y2)(3x2 - 7y2) + (3x2 - 7y2)2
ধাপ ১: চলক ধরা
- ধরি, a = 3x2 + 7y2
- এবং, b = 3x2 - 7y2
ধাপ ২: প্রদত্ত রাশি সাজানো
= a2 + 2ab + b2
= (a + b)2 [সূত্র প্রয়োগ]
ধাপ ৩: মান বসানো ও সমাধান
= { (3x2 + 7y2) + (3x2 - 7y2) }2
= (3x2 + 7y2 + 3x2 - 7y2)2
= (6x2)2 [+7y2 এবং -7y2 কাটা; 3x2 + 3x2 = 6x2]
= 36x4 [6 এর বর্গ 36 এবং x2 এর বর্গ x4]
উত্তর: 36x4
(ঘ) (8x + y)2 - (16x + 2y)(5x + y) + (5x + y)2
🔍 সমস্যা ও সমাধান: মাঝখানের পদটি লক্ষ্য করুন: (16x + 2y)। এখানে সূত্র ফেলার জন্য 2 দরকার।
আমরা 16x + 2y থেকে 2 কমন নিব: 2(8x + y)।
ধাপ ১: রাশিটি সাজানো
(8x + y)2 - 2(8x + y)(5x + y) + (5x + y)2
ধাপ ২: চলক ধরা
- ধরি, a = 8x + y
- এবং, b = 5x + y
ধাপ ৩: সূত্র ও সমাধান
= a2 - 2ab + b2
= (a - b)2
= { (8x + y) - (5x + y) }2
= (8x + y - 5x - y)2 [মাইনাস থাকায় চিহ্ন বদল]
= (3x)2 [y কাটা; 8x - 5x = 3x]
= 9x2
উত্তর: 9x2
(ঙ) (5x2 - 3x - 2)2 + (2 + 5x2 - 3x)2 - 2(5x2 - 3x - 2)(2 + 5x2 - 3x)
🔍 নোট: রাশিটি একটু এলোমেলো আছে। আমরা জানি, a2 + b2 - 2ab মানেই (a - b)2।
ধাপ ১: চলক ধরা
- ধরি, a = 5x2 - 3x - 2
- এবং, b = 2 + 5x2 - 3x (এটাকে সাজিয়ে লেখা যায়: 5x2 - 3x + 2)
ধাপ ২: সূত্র ও সমাধান
= a2 + b2 - 2ab
= (a - b)2
= { (5x2 - 3x - 2) - (2 + 5x2 - 3x) }2
ধাপ ৩: চিহ্ন পরিবর্তন ও কাটাকাটি
= (5x2 - 3x - 2 - 2 - 5x2 + 3x)2
• 5x2 এবং -5x2 কাটা
• -3x এবং +3x কাটা
• বাকি থাকল: -2 এবং -2
= (-4)2 [-2 -2 = -4]
= 16 [মাইনাস সংখ্যার বর্গ প্লাস হয়]
উত্তর: 16
প্রশ্ন ৩: সূত্র প্রয়োগ করে গুণফল নির্ণয়
(ক) (x + 7)(x - 7)
ব্যাখ্যা ও সমাধান:
💡 সূত্র চেনার উপায়: দুটি রাশি একই (x এবং 7), শুধু মাঝখানের চিহ্ন আলাদা (+ এবং -)। তাই এটি a2 - b2 এর সূত্রে পড়বে।
এখানে ১ম পদ = x এবং ২য় পদ = 7
= (১ম পদ)2 - (২য় পদ)2
= (x)2 - (7)2
= x2 - 49 [কারণ 7 × 7 = 49]
উত্তর: x2 - 49
(খ) (5x + 13)(5x - 13)
ব্যাখ্যা ও সমাধান:
এখানেও একই সূত্র।
১ম পদ (a) = 5x
২য় পদ (b) = 13
= (5x)2 - (13)2
ভেঙে হিসাব করি:
- (5x)2 মানে 5 এর বর্গ 25 এবং x এর বর্গ x2 → 25x2
- (13)2 মানে 13 × 13 → 169
= 25x2 - 169
উত্তর: 25x2 - 169
(গ) (xy + yz)(xy - yz)
ব্যাখ্যা ও সমাধান:
সূত্র: (a + b)(a - b) = a2 - b2
= (xy)2 - (yz)2
= x2y2 - y2z2 [ব্র্যাকেটের ভেতরের সবার ওপর স্কয়ার বসবে]
উত্তর: x2y2 - y2z2
(ঘ) (ax + b)(ax - b)
সমাধান:
= (ax)2 - (b)2
= a2x2 - b2
উত্তর: a2x2 - b2
(ঙ) (a + 3)(a + 4)
🔍 নোট: এখানে ২য় পদ দুটি আলাদা (3 এবং 4)। তাই x2 + (a+b)x + ab সূত্র ব্যবহার করতে হবে।
এখানে x = a, প্রথম সংখ্যা = 3, দ্বিতীয় সংখ্যা = 4
সূত্র প্রয়োগ:
= (a)2 + (3 + 4)a + (3 × 4)
= a2 + 7a + 12
উত্তর: a2 + 7a + 12
(চ) (ax + 3)(ax + 4)
সমাধান:
এখানে ১ম পদটি হলো ax।
= (ax)2 + (3 + 4)ax + (3 × 4)
= a2x2 + 7ax + 12 [7 এর সাথে ax গুণ হয়েছে]
উত্তর: a2x2 + 7ax + 12
(ছ) (6x + 17)(6x - 13)
⚠️ সতর্কতা: এখানে ২য় সংখ্যাটি -13 (মাইনাস)। সূত্রে যোগ করার সময় চিহ্ন খেয়াল রাখতে হবে।
এখানে x = 6x, a = 17, b = -13
ধাপ ১: সূত্রে সাজানো
= (6x)2 + (17 - 13)6x + (17 × -13)
ধাপ ২: হিসাব
- (6x)2 = 36x2
- (17 - 13) = 4; এর সাথে 6x গুণ → 4 × 6x = 24x
- 17 × (-13) = -221 (প্লাসে মাইনাসে মাইনাস)
ফাইনাল লাইন:
= 36x2 + 24x - 221
উত্তর: 36x2 + 24x - 221
(জ) (a2 + b2)(a2 - b2)(a4 + b4)
সমাধান:
এখানে ৩টি অংশ আছে। আমরা ধাপে ধাপে করব।
ধাপ ১: প্রথম দুই অংশের কাজ
(a2 + b2)(a2 - b2) = (a2)2 - (b2)2
= a4 - b4
ধাপ ২: শেষের অংশের সাথে গুণ
এখন আমাদের হাতে আছে: (a4 - b4) এবং আগের (a4 + b4)
= (a4 - b4)(a4 + b4)
আবারও একই সূত্র (a+b)(a-b):
= (a4)2 - (b4)2
= a8 - b8 [পাওয়ারে পাওয়ারে গুণ হয়: 4×2=8]
উত্তর: a8 - b8
(ঝ) (ax - by + cz)(ax + by - cz)
🔍 কৌশল: এটি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অঙ্ক। এখানে পদগুলোকে এমনভাবে ব্র্যাকেটে আটকাতে হবে যেন (A+B)(A-B) এর মতো দেখতে হয়।
ধাপ ১: সাজানো (Grouping)
১ম রাশি: ax - (by - cz) [মাইনাস কমন নেওয়ায় ভেতরের চিহ্ন বদলে +cz থেকে -cz হলো]
২য় রাশি: ax + (by - cz)
এখন পুরোটা দেখতে এমন: (ax - B)(ax + B), যেখানে B = by - cz
ধাপ ২: সূত্র প্রয়োগ
= (ax)2 - (by - cz)2
ধাপ ৩: বর্গ ভাঙানো
= a2x2 - (b2y2 - 2bycz + c2z2)
এখন ব্র্যাকেট তুলে দিলে বাইরের মাইনাসের কারণে ভেতরের সব চিহ্ন উল্টে যাবে:
= a2x2 - b2y2 + 2bycz - c2z2
উত্তর: a2x2 - b2y2 + 2bycz - c2z2
(ঞ) (3a - 10)(3a - 5)
সমাধান:
এখানে a = -10 এবং b = -5
= (3a)2 + (-10 - 5)3a + (-10 × -5)
হিসাব:
- (3a)2 = 9a2
- (-10 - 5) = -15; এর সাথে 3a গুণ → -45a
- (-10) × (-5) = +50 (মাইনাসে মাইনাসে প্লাস)
= 9a2 - 45a + 50
উত্তর: 9a2 - 45a + 50
(ট) (5a + 2b - 3c)(5a + 2b + 3c)
🔍 সহজ বুদ্ধি: (5a + 2b) অংশটি দুই জায়গাতেই আছে। একে আমরা 'A' মনে করব।
ধাপ ১: সাজানো
= {(5a + 2b) - 3c} {(5a + 2b) + 3c}
এটি (A - B)(A + B) এর সূত্র।
ধাপ ২: সূত্র প্রয়োগ
= (5a + 2b)2 - (3c)2
ধাপ ৩: বিস্তার
এখন (5a + 2b)2 এর সূত্র ভাঙতে হবে (a+b)2 নিয়মে:
= {(5a)2 + 2(5a)(2b) + (2b)2} - 9c2
= 25a2 + 20ab + 4b2 - 9c2
উত্তর: 25a2 + 20ab + 4b2 - 9c2
(ঠ) (ax + by + 5)(ax + by + 3)
সমাধান:
এখানে (ax + by) অংশটি দুই জায়গাতেই আছে। একে আমরা 'x' বা 'P' ধরতে পারি।
ধরি, P = ax + by
তাহলে রাশিটি হয়: (P + 5)(P + 3)
ধাপ ১: গুণ করা
= P2 + (5 + 3)P + (5 × 3)
= P2 + 8P + 15
ধাপ ২: P এর মান বসানো
= (ax + by)2 + 8(ax + by) + 15
= {(ax)2 + 2(ax)(by) + (by)2} + 8ax + 8by + 15
= a2x2 + 2abxy + b2y2 + 8ax + 8by + 15
উত্তর: a2x2 + 2abxy + b2y2 + 8ax + 8by + 15
প্রশ্ন ৪ থেকে ১২: মান নির্ণয় ও প্রমাণ (বিস্তারিত সমাধান)
৪. মান নির্ণয় করো: 4a2b2 - 16ab2c + 16b2c2
দেওয়া আছে: a = 4, b = 6 এবং c = 3
ধাপ ১: রাশিটিকে সূত্রে সাজানো
প্রদত্ত রাশি = (2ab)2 - 2(2ab)(4bc) + (4bc)2
💡 নোট: মাঝখানের পদটি চেক করুন: 2 × 2ab × 4bc = 16ab2c (মিলে গেছে)।
এটি (x - y)2 এর সূত্র।
= (2ab - 4bc)2
ধাপ ২: মান বসানো
= { 2(4)(6) - 4(6)(3) }2
= (48 - 72)2
= (-24)2
= 576 [মাইনাস সংখ্যার বর্গ প্লাস হয়]
উত্তর: 576
৫. x - 1/x = 3 হলে, x2 + 1/x2 এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = x2 + (1/x)2
= (x - 1/x)2 + 2 · x · 1/x [অনুসিদ্ধান্ত: a2+b2 = (a-b)2 + 2ab]
= (3)2 + 2 [মান বসিয়ে; x কাটা গেল]
= 9 + 2
= 11
উত্তর: 11
৬. a + 1/a = 4 হলে, a4 + 1/a4 এর মান কত?
🔍 কৌশল: পাওয়ার 4 থাকলে দুইবার বর্গ করতে হয় অথবা দুইবার সূত্র প্রয়োগ করতে হয়।
প্রদত্ত রাশি = (a2)2 + (1/a2)2
= (a2 + 1/a2)2 - 2 · a2 · 1/a2 [প্রথমবার সূত্র প্রয়োগ]
= (a2 + 1/a2)2 - 2
এখন, ব্র্যাকেটের ভেতরের অংশ (a2 + 1/a2) এর সূত্র আবার প্রয়োগ করি:
= { (a + 1/a)2 - 2 · a · 1/a }2 - 2
= { (4)2 - 2 }2 - 2 [মান বসিয়ে]
= (16 - 2)2 - 2
= (14)2 - 2
= 196 - 2
= 194
উত্তর: 194
৭. m = 6, n = 7 হলে প্রদত্ত রাশির মান নির্ণয় করো।
রাশি: 16(m2+n2)2 + 56(m2+n2)(3m2-2n2) + 49(3m2-2n2)2
ধাপ ১: চলক ধরা (সহজ করার জন্য)
ধরি, a = m2 + n2 এবং b = 3m2 - 2n2
প্রদত্ত রাশি = 16a2 + 56ab + 49b2
= (4a)2 + 2(4a)(7b) + (7b)2
= (4a + 7b)2 [(x+y)2 এর সূত্র]
ধাপ ২: a ও b এর মান বসানো
= { 4(m2 + n2) + 7(3m2 - 2n2) }2
= (4m2 + 4n2 + 21m2 - 14n2)2
= (25m2 - 10n2)2
ধাপ ৩: m ও n এর মান বসানো
= { 25(6)2 - 10(7)2 }2
= { 25(36) - 10(49) }2
= (900 - 490)2
= (410)2
= 168100
উত্তর: 168100
৮. দেখাও যে, a4 + 1/a4 = m4 + 4m2 + 2
দেওয়া আছে: a - 1/a = m
বামপক্ষ = a4 + 1/a4
= (a2)2 + (1/a2)2
= (a2 + 1/a2)2 - 2
ভেতরের অংশের সূত্র ফেলি (যেহেতু মান মাইনাসে আছে, মাইনাসের সূত্র নেব):
= { (a - 1/a)2 + 2 }2 - 2
= (m2 + 2)2 - 2 [মান বসিয়ে]
এখন (a+b)2 এর সূত্র প্রয়োগ করি:
= { (m2)2 + 2(m2)(2) + 22 } - 2
= m4 + 4m2 + 4 - 2
= m4 + 4m2 + 2
= ডানপক্ষ
(দেখানো হলো)
৯. x - 1/x = 4 হলে, প্রমাণ করো যে, x2 + 1/x2 = 18
বামপক্ষ = x2 + 1/x2
= (x - 1/x)2 + 2 · x · 1/x [অনুসিদ্ধান্ত]
= (4)2 + 2 [মান বসিয়ে]
= 16 + 2
= 18
= ডানপক্ষ
(প্রমাণিত)
১০. m + 1/m = 2 হলে, প্রমাণ করো যে, m4 + 1/m4 = 2
বামপক্ষ = m4 + 1/m4
= (m2)2 + (1/m2)2
= (m2 + 1/m2)2 - 2
= { (m + 1/m)2 - 2 }2 - 2 [ভেতরের অংশের সূত্র]
= { (2)2 - 2 }2 - 2 [মান বসিয়ে]
= (4 - 2)2 - 2
= (2)2 - 2
= 4 - 2
= 2
= ডানপক্ষ
(প্রমাণিত)
১১. x + y = 12 এবং xy = 27 হলে, মান নির্ণয় করো।
১ম অংশ: (x - y)2 এর মান
= (x + y)2 - 4xy [অনুসিদ্ধান্ত]
= (12)2 - 4(27)
= 144 - 108
= 36
২য় অংশ: x2 + y2 এর মান
= (x + y)2 - 2xy
= (12)2 - 2(27)
= 144 - 54
= 90
উত্তর: 36 এবং 90
১২. a + b = 13 এবং a - b = 3 হলে, মান নির্ণয় করো।
১ম অংশ: 2a2 + 2b2 এর মান
= 2(a2 + b2)
= (a + b)2 + (a - b)2 [সরাসরি সূত্র]
= (13)2 + (3)2
= 169 + 9
= 178
২য় অংশ: ab এর মান
আমরা জানি, 4ab = (a + b)2 - (a - b)2
বা, ab = { (a + b)2 - (a - b)2 } / 4
= { (13)2 - (3)2 } / 4
= (169 - 9) / 4
= 160 / 4
= 40
উত্তর: 178 এবং 40
প্রশ্ন ১৩: দুটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ (বিস্তারিত সমাধান)
প্রয়োজনীয় সূত্র
ab = { (a + b) / 2 }2 - { (a - b) / 2 }2
(ক) (5p - 3q)(p + 7q)
সমাধান:
ধরি, a = 5p - 3q এবং b = p + 7q
আমরা জানি, ab = { (a + b) / 2 }2 - { (a - b) / 2 }2
মান বসিয়ে পাই:
= { (5p - 3q + p + 7q) / 2 }2 - { (5p - 3q) - (p + 7q) / 2 }2
যোগ-বিয়োগ:
= { (6p + 4q) / 2 }2 - { (5p - 3q - p - 7q) / 2 }2
= { (6p + 4q) / 2 }2 - { (4p - 10q) / 2 }2
কমন নেওয়া ও কাটাকাটি:
💡 লব থেকে 2 কমন নিয়ে হরের 2 এর সাথে কাটতে হবে।
= { 2(3p + 2q) / 2 }2 - { 2(2p - 5q) / 2 }2
= (3p + 2q)2 - (2p - 5q)2
উত্তর: (3p + 2q)2 - (2p - 5q)2
(খ) (6a + 9b)(7b - 8a)
সমাধান:
ধরি, x = 6a + 9b এবং y = 7b - 8a
প্রদত্ত রাশি = { (x + y) / 2 }2 - { (x - y) / 2 }2
মান বসিয়ে:
= { (6a + 9b + 7b - 8a) / 2 }2 - { (6a + 9b) - (7b - 8a) / 2 }2
হিসাব:
= { (-2a + 16b) / 2 }2 - { (6a + 9b - 7b + 8a) / 2 }2
= { (16b - 2a) / 2 }2 - { (14a + 2b) / 2 }2 [সাজিয়ে লিখলাম]
কমন নিয়ে ভাগ:
= { 2(8b - a) / 2 }2 - { 2(7a + b) / 2 }2
= (8b - a)2 - (7a + b)2
উত্তর: (8b - a)2 - (7a + b)2
(গ) (3x + 5y)(7x - 5y)
সমাধান:
সূত্রে মান বসিয়ে পাই:
= { (3x + 5y + 7x - 5y) / 2 }2 - { (3x + 5y) - (7x - 5y) / 2 }2
যোগ-বিয়োগ:
- ১ম অংশ: 3x + 7x = 10x; এবং 5y - 5y = 0 (কাটা)
- ২য় অংশ: 3x + 5y - 7x + 5y = -4x + 10y = 10y - 4x
= { 10x / 2 }2 - { (10y - 4x) / 2 }2
কাটাকাটি:
= (5x)2 - { 2(5y - 2x) / 2 }2
= (5x)2 - (5y - 2x)2
উত্তর: (5x)2 - (5y - 2x)2
(ঘ) (5x + 13)(5x - 13)
সমাধান:
সূত্রে মান বসিয়ে পাই:
= { (5x + 13 + 5x - 13) / 2 }2 - { (5x + 13) - (5x - 13) / 2 }2
হিসাব:
= { (10x) / 2 }2 - { (5x + 13 - 5x + 13) / 2 }2
= { 5x }2 - { (26) / 2 }2
= (5x)2 - (13)2
📝 বিকল্প পদ্ধতি: এটি সরাসরি a2 - b2 এর সূত্রেও ফেলা যায়, কারণ রাশি দুটি এক।
(a+b)(a-b) = a2 - b2
(5x+13)(5x-13) = (5x)2 - (13)2
উত্তর: (5x)2 - (13)2
প্রশ্ন ১৪: সৃজনশীল প্রশ্নের সমাধান (বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ)
উদ্দীপক ও প্রশ্ন:
উদ্দীপক: দুটি সংখ্যা a ও b, যেখানে a > b। সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল 12 এবং গুণফল 32।
- (ক) সূত্রের সাহায্যে গুণ করো: (2x + 3)(2x - 7)
- (খ) 2a2 + 2b2 এর মান নির্ণয় করো।
- (গ) প্রমাণ করো যে, (a + 2b)2 - 5b2 = 176
(ক) সূত্রের সাহায্যে গুণ করো: (2x + 3)(2x - 7)
ব্যাখ্যা ও সমাধান:
💡 সূত্র: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
এখানে প্রথম পদটি (2x) এক, কিন্তু শেষের পদ দুটি (3 এবং -7) ভিন্ন।
এখানে: x = 2x, a = 3, b = -7
ধাপ ১: সূত্র প্রয়োগ
= (2x)2 + (3 + (-7)) × 2x + (3 × -7)
ধাপ ২: হিসাব
- (2x)2 = 4x2
- (3 - 7) = -4; এর সাথে 2x গুণ → -8x
- 3 × (-7) = -21
ফাইনাল লাইন:
= 4x2 - 8x - 21
উত্তর: 4x2 - 8x - 21
(খ) 2a2 + 2b2 এর মান নির্ণয় করো।
দেওয়া আছে:
সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল, a + b = 12
সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল, ab = 32
প্রদত্ত রাশি: 2a2 + 2b2
ধাপ ১: কমন নেওয়া
= 2(a2 + b2)
ধাপ ২: সূত্র প্রয়োগ
💡 আমরা জানি, a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
(যেহেতু আমাদের কাছে a+b এবং ab এর মান আছে, তাই এই সূত্রটি নিব)
= 2 { (a + b)2 - 2ab }
ধাপ ৩: মান বসানো
= 2 { (12)2 - 2 × 32 }
= 2 { 144 - 64 }
= 2 { 80 }
= 160
উত্তর: 160
(গ) প্রমাণ করো যে, (a + 2b)2 - 5b2 = 176
🔍 কৌশল: এই অঙ্কটি সহজ করতে হলে প্রথমে 'a' এবং 'b' এর আলাদা মান বের করে নেওয়া ভালো।
ধাপ ১: (a - b) এর মান বের করা
আমরা জানি, (a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
= (12)2 - 4 × 32
= 144 - 128
= 16
∴ a - b = 4 [উভয় পক্ষকে বর্গমূল করে]
ধাপ ২: a ও b এর মান বের করা
এখন,
a + b = 12 ...(i)
a - b = 4 ...(ii)
সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই:
2a = 16 বা, a = 8
সমীকরণ (i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই:
2b = 8 বা, b = 4
ধাপ ৩: বামপক্ষে মান বসানো
বামপক্ষ = (a + 2b)2 - 5b2
= (8 + 2 × 4)2 - 5(4)2 [a এবং b এর মান বসিয়ে]
= (8 + 8)2 - 5 × 16
= (16)2 - 80
= 256 - 80
= 176
= ডানপক্ষ
(প্রমাণিত)
