১ লিটার বিশুদ্ধ পানির ওজন = ১ কেজি (৪°C তাপমাত্রায়)
১ ঘনমিটার = ১০০০ লিটার
১ সিসি (cc) পানির ওজন = ১ গ্রাম
স্বর্ণ পানির ১৯.৩ গুণ ভারী
বায়ু পানির ০.০০১২৯ গুণ ভারী
অষ্টম শ্রেণি গণিত: পরিমাপ (অনুশীলনী ৩)
সংক্ষিপ্ত প্রশ্নের সমাধান (১-২)
১. ৪ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
ঘনকের এক পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = (৪)২ = ১৬ বর্গ সে.মি.
ঘনকের মোট তল ৬টি।
∴ সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ৬ × ১৬ = ৯৬ বর্গ সে.মি. সঠিক উত্তর: (ঘ)
২. একটি গাড়ির চাকার পরিধি ৫ মিটার। ১ কি.মি. ৫০০ মিটার পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?
সমাধান:
মোট দূরত্ব = ১০০০ + ৫০০ = ১৫০০ মিটার।
চাকার পরিধি = ৫ মিটার।
∴ চাকাটি ঘুরবে = ১৫০০ ÷ ৫ = ৩০০ বার। সঠিক উত্তর: (গ)
গাণিতিক সমস্যার সমাধান (৩-২২)
প্রশ্ন ৩: একটি পুকুরের দৈর্ঘ্য ৬০ মিটার এবং প্রস্থ ৪০ মিটার। পুকুরের পাড়ের বিস্তার ৩ মিটার হলে, পাড়ের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো?
দেওয়া আছে:
পুকুরের দৈর্ঘ্য = ৬০ মিটার
পুকুরের প্রস্থ = ৪০ মিটার
পুকুরের পাড়ের বিস্তার = ৩ মিটার
ধাপ-১: শুধু পুকুরের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
আমরা জানি, আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
∴ পুকুরের ক্ষেত্রফল = ৬০ × ৪০ = ২৪০০ বর্গমিটার।
ধাপ-২: পাড়সহ নতুন দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয়
যেহেতু পুকুরের চারপাশেই পাড় আছে, তাই দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ উভয় দিকেই দুইবার করে পাড়ের বিস্তার যোগ হবে। (ব্যাখ্যা: দৈর্ঘ্যের দুই পাশে ৩ মি. করে মোট ৬ মি. এবং প্রস্থের দুই পাশে ৩ মি. করে মোট ৬ মি. বাড়বে।)
∴ পাড়সহ দৈর্ঘ্য = ৬০ + (৩ × ২) = ৬০ + ৬ = ৬৬ মিটার।
∴ পাড়সহ প্রস্থ = ৪০ + (৩ × ২) = ৪০ + ৬ = ৪৬ মিটার।
ধাপ-৪: পাড়ের ক্ষেত্রফল বের করা
এখন, পাড়সহ মোট ক্ষেত্রফল থেকে শুধু পুকুরের ক্ষেত্রফল বাদ দিলেই পাড়ের ক্ষেত্রফল পাওয়া যাবে।
∴ পাড়ের ক্ষেত্রফল = (পাড়সহ ক্ষেত্রফল) - (পুকুরের ক্ষেত্রফল)
= ৩০৩৬ - ২৪০০
= ৬৩৬ বর্গমিটার।
উত্তর: পাড়ের ক্ষেত্রফল ৬৩৬ বর্গমিটার।
প্রশ্ন ৪: আয়তাকার একটি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১০ একর এবং তার দৈর্ঘ্য প্রন্থের ৪ গুণ। ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?
দেওয়া আছে:
ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১০ একর
শর্ত: দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৪ গুণ।
ধাপ-১: একরকে বর্গমিটারে রূপান্তর
যেহেতু দৈর্ঘ্য মিটারে বের করতে হবে, তাই প্রথমে একরকে বর্গমিটারে নিতে হবে।
আমরা জানি, ১ একর = ৪০৪৬.৮৬ বর্গমিটার (প্রায়)
∴ ১০ একর = ১০ × ৪০৪৬.৮৬ = ৪০৪৬৮.৬ বর্গমিটার।
ধাপ-২: চলক (Variable) ধরা ও সমীকরণ গঠন
মনে করি,
আয়তাকার ক্ষেত্রটির প্রস্থ = ক মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ৪ × ক = ৪ক মিটার
আমরা জানি, ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
∴ ক্ষেত্রফল = ৪ক × ক = ৪ক২ বর্গমিটার
ধাপ-৩: প্রশ্নমতে সমাধান
শর্তমতে,
৪ক২ = ৪০৪৬৮.৬
বা, ক২ = ৪০৪৬৮.৬ ÷ ৪ (উভয় পক্ষকে ৪ দ্বারা ভাগ করে)
বা, ক২ = ১০১১৭.১৫
বা, ক = √১০১১৭.১৫ (বর্গমূল করে)
∴ ক = ১০০.৫৮ (প্রায়)
ধাপ-৪: দৈর্ঘ্য নির্ণয়
আমরা প্রস্থ (ক) পেয়েছি ১০০.৫৮ মিটার।
∴ দৈর্ঘ্য = ৪ক = ৪ × ১০০.৫৮ = ৪০২.৩২ মিটার (প্রায়)।
উত্তর: ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ৪০২.৩২ মিটার (প্রায়)।
প্রশ্ন ৫: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রন্থের দেড় গুণ। এর ক্ষেত্রফল ২১৬ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?
ধাপ-১: চলক ধরা ও ক্ষেত্রফলের সমীকরণ গঠন
মনে করি,
ঘরটির প্রস্থ = ক মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ১.৫ × ক = ১.৫ক মিটার
আমরা জানি, ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
∴ ক্ষেত্রফল = ১.৫ক × ক = ১.৫ক২ বর্গমিটার
ধাপ-২: 'ক' এর মান নির্ণয় (প্রস্থ বের করা)
প্রশ্নমতে,
১.৫ক২ = ২১৬
বা, ক২ = ২১৬ ÷ ১.৫ (উভয় পক্ষকে ১.৫ দ্বারা ভাগ করে)
বা, ক২ = ১৪৪
বা, ক = √১৪৪ (উভয় পক্ষে বর্গমূল করে)
∴ ক = ১২
সুতরাং, প্রস্থ = ১২ মিটার।
ধাপ-৩: দৈর্ঘ্য নির্ণয়
দৈর্ঘ্য = ১.৫ক = ১.৫ × ১২ = ১৮ মিটার।
ধাপ-৪: পরিসীমা নির্ণয়
আমরা জানি, আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(১৮ + ১২) মিটার
= ২ × ৩০ মিটার
= ৬০ মিটার।
উত্তর: ঘরের পরিসীমা ৬০ মিটার।
প্রশ্ন ৬: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ভূমি ২৪ মিটার এবং উচ্চতা ১৫ মিটার ৫০ সেন্টিমিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
দেওয়া আছে:
ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ভূমি = ২৪ মিটার
উচ্চতা = ১৫ মিটার ৫০ সেন্টিমিটার
ধাপ-১: একক রূপান্তর (সেন্টিমিটার থেকে মিটারে)
অংকটি সমাধানের জন্য সব একক একজাতীয় হতে হবে। তাই উচ্চতাকে মিটারে প্রকাশ করতে হবে।
আমরা জানি, ১০০ সেন্টিমিটার = ১ মিটার।
∴ ৫০ সেন্টিমিটার = ৫০ ÷ ১০০ = ০.৫০ মিটার।
সুতরাং, উচ্চতা = ১৫ + ০.৫০ = ১৫.৫০ বা ১৫.৫ মিটার।
ধাপ-২: ক্ষেত্রফলের সূত্র প্রয়োগ
আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × ভূমি × উচ্চতা
ধাপ-৩: মান বসানো ও হিসাব
ক্ষেত্রফল = ১/২ × ২৪ × ১৫.৫ বর্গমিটার
= (২৪ ÷ ২) × ১৫.৫ (২৪ কে ২ দিয়ে ভাগ করে ১২ পাওয়া যায়)
= ১২ × ১৫.৫ বর্গমিটার
= ১৮৬ বর্গমিটার।
উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ১৮৬ বর্গমিটার।
প্রশ্ন ৭: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৪৮ মিটার এবং প্রস্থ ৩২ মিটার ৮০ সে. মি.। ক্ষেত্রটির বাইরে চারদিকে ৩ মিটার বিস্তৃত একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?
দেওয়া আছে:
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৪৮ মিটার
প্রস্থ = ৩২ মিটার ৮০ সেন্টিমিটার
রাস্তার বিস্তার = ৩ মিটার (রাস্তাটি ক্ষেত্রের বাইরে অবস্থিত)।
ধাপ-১: প্রস্থের একক রূপান্তর (সে.মি. থেকে মিটার)
হিসাবের সুবিধার জন্য প্রস্থকে সম্পূর্ণ মিটারে নিতে হবে।
৮০ সে.মি. = ৮০ ÷ ১০০ = ০.৮ মিটার।
∴ প্রস্থ = ৩২ + ০.৮ = ৩২.৮ মিটার।
ধাপ-২: মূল ক্ষেত্রের (মাঠের) ক্ষেত্রফল নির্ণয়
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ৪৮ × ৩২.৮
= ১৫৭৪.৪ বর্গমিটার।
ধাপ-৩: রাস্তাসহ নতুন দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয়
যেহেতু রাস্তাটি ক্ষেত্রের বাইরে, তাই মূল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সাথে রাস্তার বিস্তার যোগ হবে।
দুই পাশে ৩ মিটার করে বাড়বে, তাই মোট বাড়বে (৩ × ২) = ৬ মিটার।
∴ রাস্তাসহ দৈর্ঘ্য = ৪৮ + ৬ = ৫৪ মিটার।
∴ রাস্তাসহ প্রস্থ = ৩২.৮ + ৬ = ৩৮.৮ মিটার।
ধাপ-৪: রাস্তাসহ সম্পূর্ণ ক্ষেত্রফল নির্ণয়
রাস্তাসহ ক্ষেত্রফল = রাস্তাসহ দৈর্ঘ্য × রাস্তাসহ প্রস্থ
= ৫৪ × ৩৮.৮
= ২০৯৫.২ বর্গমিটার।
ধাপ-৫: রাস্তার ক্ষেত্রফল বের করা
রাস্তার ক্ষেত্রফল = (রাস্তাসহ মোট ক্ষেত্রফল) - (মাঠের ক্ষেত্রফল)
= ২০৯৫.২ - ১৫৭৪.৪
= ৫২০.৮ বর্গমিটার।
উত্তর: রাস্তার ক্ষেত্রফল ৫২০.৮ বর্গমিটার।
প্রশ্ন ৮: একটি বর্গাকার ক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৩০০ মিটার এবং বাইরে চারদিকে ৪ মিটার প্রস্থ একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?
দেওয়া আছে:
বর্গাকার ক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩০০ মিটার
রাস্তার বিস্তার = ৪ মিটার (রাস্তাটি ক্ষেত্রের বাইরে অবস্থিত)।
ধাপ-২: রাস্তাসহ নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়
যেহেতু রাস্তাটি ক্ষেত্রের বাইরে, তাই মূল বাহুর দৈর্ঘ্যের সাথে রাস্তার বিস্তার যোগ হবে।
বর্গক্ষেত্রের দুই পাশেই ৪ মিটার করে বাড়বে।
∴ রাস্তাসহ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩০০ + (৪ × ২) = ৩০০ + ৮ = ৩০৮ মিটার।
প্রশ্ন ৯: একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ২৬৪ বর্গমিটার। এর ভূমি ২২ মিটার হলে, উচ্চতা নির্ণয় করো।
দেওয়া আছে:
ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল = ২৬৪ বর্গমিটার
ভূমি = ২২ মিটার
নির্ণয় করতে হবে: উচ্চতা = ?
ধাপ-১: সূত্র প্রয়োগ
আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × ভূমি × উচ্চতা
ধাপ-২: মান বসানো ও সমীকরণ গঠন
প্রশ্নমতে,
১/২ × ২২ × উচ্চতা = ২৬৪
ধাপ-৩: সমাধান (ক্যালকুলেশন)
বা, (২২ ÷ ২) × উচ্চতা = ২৬৪ (২২ কে ২ দিয়ে ভাগ করে)
বা, ১১ × উচ্চতা = ২৬৪
বা, উচ্চতা = ২৬৪ ÷ ১১ (১১ এপাশে গুণ অবস্থায় ছিল, তাই ওপাশে গিয়ে ভাগ হলো)
∴ উচ্চতা = ২৪
উত্তর: ত্রিভুজটির উচ্চতা ২৪ মিটার।
প্রশ্ন ১০: একটি চৌবাচ্চায় ১৯২০০ লিটার পানি ধরে। এর গভীরতা ২.৫৬ মিটার এবং প্রস্থ ২.৫ মিটার হলে, দৈর্ঘ্য কত?
দেওয়া আছে:
চৌবাচ্চায় পানির ধারণক্ষমতা = ১৯২০০ লিটার
গভীরতা = ২.৫৬ মিটার
প্রস্থ = ২.৫ মিটার
ধাপ-১: লিটারকে ঘনমিটারে রূপান্তর
যেহেতু গভীরতা ও প্রস্থ 'মিটার' এককে আছে, তাই পানির আয়তনকেও 'লিটার' থেকে 'ঘনমিটার' এ নিতে হবে।
আমরা জানি, ১০০০ লিটার = ১ ঘনমিটার।
∴ পানির আয়তন = ১৯২০০ ÷ ১০০০ = ১৯.২ ঘনমিটার।
ধাপ-২: সূত্র প্রয়োগ ও মান বসানো
আমরা জানি, আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা
বা, ১৯.২ = দৈর্ঘ্য × ২.৫ × ২.৫৬
ধাপ-৩: সমাধান
বা, ১৯.২ = দৈর্ঘ্য × ৬.৪ (২.৫ ও ২.৫৬ গুণ করে ৬.৪ পাওয়া গেল)
বা, দৈর্ঘ্য = ১৯.২ ÷ ৬.৪
∴ দৈর্ঘ্য = ৩
উত্তর: চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য ৩ মিটার।
প্রশ্ন ১১: স্বর্ণ, পানির তুলনায় ১৯.৩ গুণ ভারী। আয়তাকার একটি স্বর্ণের বারের দৈর্ঘ্য ৭.৮ সেন্টিমিটার, প্রস্থ ৬.৪ সেন্টিমিটার এবং উচ্চতা ২.৫ সেন্টিমিটার। স্বর্ণের বারটির ওজন কত?
দেওয়া আছে:
স্বর্ণের বারের দৈর্ঘ্য = ৭.৮ সে.মি.
প্রস্থ = ৬.৪ সে.মি.
উচ্চতা = ২.৫ সে.মি.
শর্ত: স্বর্ণ পানির তুলনায় ১৯.৩ গুণ ভারী।
ধাপ-২: পানির সাথে তুলনা করে ওজন নির্ণয়
আমরা জানি, ১ ঘন সে.মি. বিশুদ্ধ পানির ওজন ১ গ্রাম।
যেহেতু স্বর্ণ পানির চেয়ে ১৯.৩ গুণ ভারী,
তাই, ১ ঘন সে.মি. স্বর্ণের ওজন = ১ × ১৯.৩ = ১৯.৩ গ্রাম।
ধাপ-৩: মোট ওজন বের করা
∴ ১২৪.৮ ঘন সে.মি. স্বর্ণের ওজন = ১২৪.৮ × ১৯.৩ গ্রাম
= ২৪০৮.৬৪ গ্রাম।
ধাপ-৪: কেজিতে রূপান্তর (ঐচ্ছিক কিন্তু ভালো)
১০০০ গ্রাম = ১ কেজি।
∴ ২৪০৮.৬৪ গ্রাম = ২ কেজি ৪০৮.৬৪ গ্রাম।
উত্তর: স্বর্ণের বারের ওজন ২ কেজি ৪০৮.৬৪ গ্রাম।
প্রশ্ন ১২: একটি ছোট বাক্সের দৈর্ঘ্য ১৫ সে. মি. ২.৪ মি. মি., প্রস্থ ৭ সে. মি. ৬.২ মি. মি. এবং উচ্চতা ৫ সে. মি. ৮ মি. মি.। বাক্সটির আয়তন কত ঘন সেন্টিমিটার?
দেওয়া আছে:
বাক্সের দৈর্ঘ্য = ১৫ সে.মি. ২.৪ মি.মি.
বাক্সের প্রস্থ = ৭ সে.মি. ৬.২ মি.মি.
বাক্সের উচ্চতা = ৫ সে.মি. ৮ মি.মি.
ধাপ-১: একক রূপান্তর (মি.মি. থেকে সে.মি.)
আমরা জানি, ১০ মি.মি. = ১ সে.মি. (তাই ১০ দিয়ে ভাগ করতে হবে)
∴ দৈর্ঘ্য = ১৫ + (২.৪ ÷ ১০) = ১৫ + ০.২৪ = ১৫.২৪ সে.মি.
∴ প্রস্থ = ৭ + (৬.২ ÷ ১০) = ৭ + ০.৬২ = ৭.৬২ সে.মি.
∴ উচ্চতা = ৫ + (৮ ÷ ১০) = ৫ + ০.৮ = ৫.৮ সে.মি.
ধাপ-২: আয়তন নির্ণয়
আমরা জানি, আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= ১৫.২৪ × ৭.৬২ × ৫.৮
= ১১৬.১২৮৮ × ৫.৮ (প্রথম দুটি গুণ করে)
= ৬৭৩.৫৪৭০৪ ঘন সে.মি.
ধাপ-৩: আসন্ন মান (Rounding)
দশমিকের পর দুই ঘর রাখলে তৃতীয় ঘরটি (৭) ৫-এর বড় হওয়ায় আগের সংখ্যার সাথে ১ যোগ হবে।
∴ আয়তন = ৬৭৩.৫৫ ঘন সে.মি. (প্রায়)।
উত্তর: আয়তন ৬৭৩.৫৫ ঘন সে.মি. (প্রায়)।
প্রশ্ন ১৩: একটি আয়তাকার চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৫.৫ মিটার, প্রস্থ ৪ মিটার এবং উচ্চতা ২ মিটার। উক্ত চৌবাচ্চাটি পানিভর্তি থাকলে পানির আয়তন কত লিটার এবং ওজন কত কিলোগ্রাম হবে?
দেওয়া আছে:
চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য = ৫.৫ মিটার
প্রস্থ = ৪ মিটার
উচ্চতা = ২ মিটার
ধাপ-১: চৌবাচ্চার আয়তন নির্ণয় (ঘনমিটারে)
আমরা জানি, আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= ৫.৫ × ৪ × ২
= ২২ × ২ (৫.৫ ও ৪ গুণ করে)
= ৪৪ ঘনমিটার।
ধাপ-২: পানির আয়তন লিটারে রূপান্তর
যেহেতু চৌবাচ্চাটি পানিভর্তি, তাই পানির আয়তন চৌবাচ্চার আয়তনের সমান হবে।
আমরা জানি, ১ ঘনমিটার = ১০০০ লিটার।
∴ পানির আয়তন = ৪৪ × ১০০০ = ৪৪,০০০ লিটার।
ধাপ-৩: পানির ওজন নির্ণয় (কিলোগ্রামে)
আমরা জানি, ১ লিটার বিশুদ্ধ পানির ওজন ১ কিলোগ্রাম (কেজি)।
∴ ৪৪,০০০ লিটার পানির ওজন = ৪৪,০০০ × ১ = ৪৪,০০০ কিলোগ্রাম।
উত্তর: পানির আয়তন ৪৪,০০০ লিটার এবং ওজন ৪৪,০০০ কেজি।
প্রশ্ন ১৪: আয়তাকার একটি মাঠের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ১.৫ গুণ। প্রতি বর্গমিটার ১.৯০ টাকা দরে ঘাস লাগাতে ১০২৬০.০০ টাকা ব্যয় হয়। প্রতি মিটার ২.৫০ টাকা দরে ঐ মাঠের চারদিকে বেড়া দিতে মোট কত ব্যয় হবে?
ধাপ-১: মাঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
আমরা জানি, মোট খরচকে প্রতি এককের খরচ দিয়ে ভাগ করলে মোট পরিমাণ পাওয়া যায়।
∴ মাঠের ক্ষেত্রফল = মোট খরচ ÷ প্রতি বর্গমিটারে খরচ
= ১০২৬০ ÷ ১.৯০
= ৫৪০০ বর্গমিটার।
ধাপ-২: দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয়
মনে করি, প্রস্থ = 'ক' মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ১.৫ × ক = ১.৫ক মিটার
সুতরাং,
প্রস্থ = ৬০ মিটার
দৈর্ঘ্য = ১.৫ × ৬০ = ৯০ মিটার।
ধাপ-৩: পরিসীমা নির্ণয়
বেড়া দিতে হলে পরিসীমা জানতে হবে।
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(৯০ + ৬০)
= ২ × ১৫০
= ৩০০ মিটার।
ধাপ-৪: বেড়া দেওয়ার মোট খরচ নির্ণয়
প্রতি মিটারে খরচ ২.৫০ টাকা।
∴ ৩০০ মিটারে মোট খরচ = ৩০০ × ২.৫০ টাকা
= ৭৫০ টাকা।
উত্তর: বেড়া দিতে মোট ৭৫০ টাকা খরচ হবে।
প্রশ্ন ১৫: একটি ঘরের মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ৭২০০ টাকা খরচ হয়। ঘরটির প্রস্থ ৩ মিটার কম হলে ৫৭৬ টাকা কম খরচ হতো। ঘরটির প্রস্থ কত?
দেওয়া আছে:
কার্পেট দিয়ে মুড়তে মোট খরচ = ৭,২০০ টাকা।
খরচ কমে যায় = ৫৭৬ টাকা, যখন প্রস্থ কমে = ৩ মিটার।
ধাপ-১: সমস্যাটি বোঝা (লজিক)
এখানে ঘরের দৈর্ঘ্য নির্দিষ্ট (অপরিবর্তিত)। দৈর্ঘ্য এক থাকলে, খরচ সরাসরি প্রস্থের ওপর নির্ভর করে। অর্থাৎ, যতটুকু প্রস্থ কমবে, ঠিক সেই অনুপাতেই খরচ কমবে।
তাই আমরা বলতে পারি, ৫৭৬ টাকা খরচ হয় ৩ মিটার প্রস্থের জন্য।
ধাপ-২: ঐকিক নিয়মে সমাধান
খরচ ৫৭৬ টাকা কম হয় যখন প্রস্থ কমে ৩ মিটার
∴ খরচ ১ টাকা কম হয় যখন প্রস্থ কমে ¾ মিটার (৩ কে ৫৭৬ দিয়ে ভাগ)
যেহেতু ৭২০০ টাকা হলো সম্পূর্ণ ঘরের খরচ, তাই ৭২০০ টাকার জন্য যে প্রস্থ পাওয়া যাবে, সেটাই ঘরটির মূল প্রস্থ।
∴ খরচ ৭২০০ টাকার জন্য প্রস্থ = ¾ × ৭২০০ মিটার
= &frac{২১৬০০}{৫৭৬} মিটার (৩ এর সাথে ৭২০০ গুণ করে ২১৬০০ হলো)
ধাপ-৩: চূড়ান্ত হিসাব
= ২১৬০০ ÷ ৫৭৬
= ৩৭.৫ মিটার।
উত্তর: ঘরটির প্রস্থ ৩৭.৫ মিটার।
প্রশ্ন ১৬: ৮০ মিটার দৈর্ঘ্য ও ৬০ মিটার প্রস্থবিশিষ্ট একটি আয়তাকার বাগানের ভিতর চারদিকে ৪ মিটার প্রশস্ত কটি পথ আছে। প্রতি বর্গমিটার ৭.২৫ টাকা দরে ঐ পথ বাঁধানোর খরচ কত?
দেওয়া আছে:
বাগানের দৈর্ঘ্য = ৮০ মিটার
বাগানের প্রস্থ = ৬০ মিটার
রাস্তার বিস্তার = ৪ মিটার (রাস্তাটি বাগানের ভিতরে)
খরচ = প্রতি বর্গমিটার ৭.২৫ টাকা।
ধাপ-১: সম্পূর্ণ বাগানের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ৮০ × ৬০
= ৪৮০০ বর্গমিটার।
ধাপ-২: রাস্তা বাদে বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয়
যেহেতু রাস্তাটি বাগানের ভিতরে, তাই মূল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ থেকে রাস্তার বিস্তার বাদ যাবে।
দুই পাশ থেকে ৪ মিটার করে কমবে।
∴ রাস্তা বাদে দৈর্ঘ্য = ৮০ - (৪ × ২) = ৮০ - ৮ = ৭২ মিটার।
∴ রাস্তা বাদে প্রস্থ = ৬০ - (৪ × ২) = ৬০ - ৮ = ৫২ মিটার।
ধাপ-৫: মোট খরচ নির্ণয়
১ বর্গমিটার পথ বাঁধানোর খরচ ৭.২৫ টাকা।
∴ ১০৫৬ বর্গমিটার পথ বাঁধানোর খরচ = ১০৫৬ × ৭.২৫ টাকা
= ৭৬৫৬ টাকা।
উত্তর: পথ বাঁধানোর খরচ ৭৬৫৬ টাকা।
প্রশ্ন ১৭: ২.৫ মিটার গভীর একটি বর্গাকৃতি খোলা চৌবাচ্চায় ২৮,৯০০ লিটার পানি ধরে। এর ভেতরের দিকে সিসার পাত লাগাতে প্রতি বর্গমিটার ১২.৫০ টাকা হিসাবে মোট কত খরচ হবে?
দেওয়া আছে:
পানির পরিমাণ = ২৮,৯০০ লিটার
চৌবাচ্চাটির গভীরতা = ২.৫ মিটার
আকৃতি = বর্গাকৃতি এবং উপরের মুখ খোলা।
সিসার পাত লাগানোর খরচ = প্রতি বর্গমিটার ১২.৫০ টাকা।
ধাপ-১: পানির আয়তন নির্ণয় (ঘনমিটারে)
সিসার পাতের হিসাব 'বর্গমিটারে' করতে হবে, তাই পানির লিটারকে 'ঘনমিটারে' নিতে হবে।
আমরা জানি, ১০০০ লিটার = ১ ঘনমিটার।
∴ পানির আয়তন = ২৮৯০০ ÷ ১০০০ = ২৮.৯ ঘনমিটার।
যেহেতু চৌবাচ্চাটি বর্গাকৃতি, তাই এর তলাটি একটি বর্গক্ষেত্র।
ধরি, তলার এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ক
বা, ক২ = ১১.৫৬
বা, ক = √১১.৫৬
∴ তলার এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩.৪ মিটার।
ধাপ-৩: মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় (সিসা লাগানোর স্থান)
চৌবাচ্চাটি "খোলা", তাই এর উপরের ঢাকনা নেই। সিসা লাগাতে হবে তলায় এবং চারপাশের ৪টি দেয়ালে।
১. তলার ক্ষেত্রফল = ১১.৫৬ বর্গমিটার (আগেই পেয়েছি)।
২. ৪টি দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ৪ × (এক বাহুর দৈর্ঘ্য × গভীরতা)
= ৪ × (৩.৪ × ২.৫)
= ৪ × ৮.৫
= ৩৪ বর্গমিটার।
∴ মোট ক্ষেত্রফল = তলার ক্ষেত্রফল + ৪ দেয়ালের ক্ষেত্রফল
= ১১.৫৬ + ৩৪
= ৪৫.৫৬ বর্গমিটার।
প্রশ্ন ১৮: একটি ঘরের মেঝে ২৬ মি. দৈর্ঘ্য ও ২০ মি. প্রস্থ। ৪ মি. দৈর্ঘ্যের ও ২.৫ মি. প্রস্থের কয়টি মাদুর দিয়ে মেঝেটি সম্পূর্ণ ঢাকা যাবে? প্রতিটি মাদুরের দাম ২০০ টাকা হলে, মোট খরচ কত হবে?
দেওয়া আছে:
ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য = ২৬ মি., প্রস্থ = ২০ মি.
মাদুরের দৈর্ঘ্য = ৪ মি., প্রস্থ = ২.৫ মি.
প্রতিটি মাদুরের দাম = ২০০ টাকা।
ধাপ-১: মেঝের মোট ক্ষেত্রফল নির্ণয়
আমরা জানি, আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
∴ মেঝের ক্ষেত্রফল = ২৬ × ২০ = ৫২০ বর্গমিটার।
ধাপ-২: একটি মাদুরের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
মাদুরের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ৪ × ২.৫
= ১০ বর্গমিটার।
ধাপ-৩: প্রয়োজনীয় মাদুরের সংখ্যা নির্ণয়
মোট মেঝেকে ঢাকতে কতগুলো মাদুর লাগবে তা বের করতে হলে, মেঝের ক্ষেত্রফলকে একটি মাদুরের ক্ষেত্রফল দিয়ে ভাগ করতে হবে।
∴ মাদুর লাগবে = মেঝের ক্ষেত্রফল ÷ একটি মাদুরের ক্ষেত্রফল
= ৫২০ ÷ ১০
= ৫২ টি।
প্রশ্ন ১৯: একটি বইয়ের দৈর্ঘ্য ২৫ সে. মি. ও প্রস্থ ১৮ সে. মি.। বইটির পৃষ্ঠাসংখ্যা ২০০ এবং প্রতি পাতা কাগজের পুরুত্ব ০.১ মি. মি. হলে, বইটির আয়তন নির্ণয় করো।
দেওয়া আছে:
বইয়ের দৈর্ঘ্য = ২৫ সে.মি.
বইয়ের প্রস্থ = ১৮ সে.মি.
বইয়ের পৃষ্ঠাসংখ্যা = ২০০
প্রতি পাতার (কাগজের) পুরুত্ব = ০.১ মি.মি.
ধাপ-১: বইয়ের উচ্চতা বা মোট পুরুত্ব নির্ণয়
আমরা জানি, ১টি পাতায় ২টি পৃষ্ঠা থাকে (এপিঠ ও ওপিঠ)।
∴ বইয়ের মোট পাতার সংখ্যা = ২০০ ÷ ২ = ১০০টি।
১টি পাতার পুরুত্ব ০.১ মি.মি.
∴ ১০০টি পাতার মোট পুরুত্ব = ১০০ × ০.১ = ১০ মি.মি.।
ধাপ-২: একক রূপান্তর (মি.মি. থেকে সে.মি.)
যেহেতু দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ সেন্টিমিটারে আছে, তাই পুরুত্বকেও সেন্টিমিটারে নিতে হবে।
আমরা জানি, ১০ মি.মি. = ১ সে.মি.
∴ বইয়ের উচ্চতা = ১০ ÷ ১০ = ১ সে.মি.।
ধাপ-৩: আয়তন নির্ণয়
আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= ২৫ × ১৮ × ১
= ৪৫০ ঘন সে.মি.।
উত্তর: বইটির আয়তন ৪৫০ ঘন সেন্টিমিটার।
প্রশ্ন ২০: একটি পুকুরের দৈর্ঘ্য ৩২ মিটার, প্রস্থ ২০ মিটার এবং পুকুরের পানির গভীরতা ৩ মিটার। একটি পানির মোটর দ্বারা পুকুরটি পানিশূন্য করা হচ্ছে যা প্রতি সেকেন্ডে ০.১ ঘনমিটার পানি সেচতে পারে। পুকুরটি পানিশূন্য করতে কত সময় লাগবে?
দেওয়া আছে:
পুকুরের দৈর্ঘ্য = ৩২ মিটার
পুকুরের প্রস্থ = ২০ মিটার
পুকুরের গভীরতা = ৩ মিটার
মেশিনটি পানি সেচতে পারে = প্রতি সেকেন্ডে ০.১ ঘনমিটার।
ধাপ-১: পুকুরের পানির আয়তন নির্ণয়
আমরা জানি, আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা
= ৩২ × ২০ × ৩
= ৬৪০ × ৩
= ১৯২০ ঘনমিটার।
ধাপ-২: সময় নির্ণয় (সেকেন্ডে)
মেশিনটি ০.১ ঘনমিটার পানি সেচে ১ সেকেন্ডে।
∴ ১ ঘনমিটার পানি সেচতে সময় লাগে = ১ ÷ ০.১ সেকেন্ড
∴ ১৯২০ ঘনমিটার পানি সেচতে সময় লাগে = (১৯২০ × ১) ÷ ০.১ সেকেন্ড
= ১৯২০ ÷ ০.১
= ১৯২০০ সেকেন্ড।
ধাপ-৩: সেকেন্ডকে মিনিট ও ঘণ্টায় রূপান্তর
আমরা জানি, ৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট।
∴ ১৯২০০ সেকেন্ড = ১৯২০০ ÷ ৬০ = ৩২০ মিনিট।
আবার, ৬০ মিনিট = ১ ঘণ্টা।
এখন ৩২০ মিনিটকে ঘণ্টায় নিতে হবে:
৩২০ ÷ ৬০ = ৫ (ভাগফল) এবং অবশিষ্ট থাকে ২০।
অর্থাৎ, ৫ ঘণ্টা ২০ মিনিট।
উত্তর: ৫ ঘণ্টা ২০ মিনিট সময় লাগবে।
প্রশ্ন ২১: ৩ মিটার দৈর্ঘ্য, ২ মিটার প্রস্থ ও ১ মিটার উচ্চতাবিশিষ্ট একটি খালি চৌবাচ্চায় ৫০ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট একটি নিরেট ধাতব ঘনক রাখা আছে। চৌবাচ্চাটি পানি দ্বারা পূর্ণ করার পর ঘনকটি তুলে আনা হলে, পানির গভীরতা কত হবে?
দেওয়া আছে:
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = ৩ মিটার, প্রস্থ = ২ মিটার, উচ্চতা = ১ মিটার।
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৫০ সে.মি.।
ধাপ-১: চৌবাচ্চার মোট আয়তন নির্ণয়
আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= ৩ × ২ × ১
= ৬ ঘনমিটার।
ধাপ-৩: পানির প্রকৃত আয়তন নির্ণয়
চৌবাচ্চাটি যখন পূর্ণ করা হয়, তখন ভেতরে ঘনকটি ছিল। অর্থাৎ, ঘনকটি নিজের আয়তনের সমান জায়গা দখল করে রেখেছিল। তাই পানি পুরো ৬ ঘনমিটার ধরেনি।
∴ পানির আয়তন = (চৌবাচ্চার মোট আয়তন) - (ঘনকের আয়তন)
= ৬ - ০.১২৫
= ৫.৮৭৫ ঘনমিটার। (নোট: ঘনকটি তুলে ফেললে এই ৫.৮৭৫ ঘনমিটার পানিই চৌবাচ্চায় থেকে যাবে।)
ধাপ-৪: নতুন পানির গভীরতা নির্ণয়
আমরা জানি, পানির আয়তন = তলার ক্ষেত্রফল × গভীরতা
এখানে, তলার ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ৩ × ২ = ৬ বর্গমিটার।
প্রশ্নমতে,
৬ × গভীরতা = ৫.৮৭৫
বা, গভীরতা = ৫.৮৭৫ ÷ ৬
= ০.৯৭৯১৬৬... মিটার।
ধাপ-৫: মিটারের মান সেন্টিমিটারে রূপান্তর
বোঝার সুবিধার্থে ও শুদ্ধতার জন্য মানটি সে.মি.-তে নেওয়া ভালো।
গভীরতা = ০.৯৭৯১৬৬... × ১০০ সে.মি.
= ৯৭.৯১৬৬... সে.মি.
= ৯৭.৯২ সে.মি. (প্রায়)।
উত্তর: পানির গভীরতা ৯৭.৯২ সে.মি. (প্রায়)।
প্রশ্ন ২২: একটি ঘরের প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ২/৩ অংশ। ঘরের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতা যথাক্রমে ১৫ মিটার ও ৪ মিটার। মেঝের চারদিকে ১ মিটার ফাঁকা রেখে ৫০ সে.মি বর্গাকার পাথর বসানো হলো। বায়ু
৪৫
পানির তুলনায় ০.০০১২৯ গুণ ভারী।(সৃজনশীল)
(ক) ঘরের পরিসীমা নির্ণয় করো।
সমাধান:
দেওয়া আছে, ঘরের দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার।
ঘরের প্রস্থ = দৈর্ঘ্যের ২/৩ অংশ
= ১৫ এর ২/৩ মিটার
= ৫ × ২ মিটার (১৫ কে ৩ দিয়ে ভাগ করে)
= ১০ মিটার।
আমরা জানি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(১৫ + ১০) মিটার
= ২ × ২৫ মিটার
= ৫০ মিটার।
উত্তর: পরিসীমা ৫০ মিটার।
(খ) মেঝের উল্লিখিত স্থান বাঁধাই করতে কতটি পাথরের প্রয়োজন হবে?
সমাধান:
মেঝের চারদিকে ১ মিটার ফাঁকা রাখা হয়েছে। তাই পাথর বসানো অংশের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বের করতে হবে।
ধাপ-১: পাথর বসানো স্থানের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
পাথর বসানো স্থানের দৈর্ঘ্য = ঘরের দৈর্ঘ্য - (২ × ফাঁকা অংশ)
= ১৫ - (২ × ১) = ১৫ - ২ = ১৩ মিটার।
পাথর বসানো স্থানের প্রস্থ = ঘরের প্রস্থ - (২ × ফাঁকা অংশ)
= ১০ - (২ × ১) = ১০ - ২ = ৮ মিটার।
সঠিক উত্তর: (ক) ১০ গুণ ব্যাখ্যা: গ্রিক ভাষায় 'ডেকা' অর্থ ১০ গুণ, 'হেক্টা' অর্থ ১০০ গুণ এবং 'কিলো' অর্থ ১০০০ গুণ।
২. একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১০ হেক্টর। এর এয়রে প্রকাশিত মান—
ক) ২.৪৭
খ) ৪.০৪৯
গ) ১০০
ঘ) ১০০০
সঠিক উত্তর: (ঘ) ১০০০ ব্যাখ্যা: আমরা জানি, ১ হেক্টর = ১০০ এয়ার।
∴ ১০ হেক্টর = ১০ × ১০০ = ১০০০ এয়ার।
৩. পানিপূর্ণ একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৩ মিটার, প্রস্থ ২ মিটার ও উচ্চতা ১ মিটার হলে—
i. চৌবাচ্চার আয়তন ৬ ঘনমিটার হবে।
ii. চৌবাচ্চার পানির ওজন ৬ কিলোগ্রাম হবে।
iii. পানি ভর্তি চৌবাচ্চায় পানির আয়তন ৬০০০ লিটার হবে। নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i ও ii
খ) i ও iii
গ) ii ও iii
ঘ) i, ii ও iii
সঠিক উত্তর: (খ) i ও iii ব্যাখ্যা:
i. আয়তন = ৩ × ২ × ১ = ৬ ঘনমিটার। (সঠিক)
ii. ১ ঘনমিটার পানির ওজন ১০০০ কেজি। ∴ ৬ ঘনমিটার = ৬০০০ কেজি। (ভুল, প্রশ্নে ৬ কেজি বলা আছে)
iii. ১ ঘনমিটার = ১০০০ লিটার। ∴ ৬ ঘনমিটার = ৬০০০ লিটার। (সঠিক)
নিচের অনুচ্ছেদের আলোকে ৪ ও ৫ নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাও:
একটি আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গমিটার এবং প্রস্থ ১৬ মিটার।
৪. বাগানের পরিসীমা কত মিটার?
ক) ১৬
খ) ২৫
গ) ৪১
ঘ) ৮২
সঠিক উত্তর: (ঘ) ৮২ ব্যাখ্যা: বাগানের দৈর্ঘ্য = ক্ষেত্রফল ÷ প্রস্থ = ৪০০ ÷ ১৬ = ২৫ মিটার।
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২(২৫ + ১৬) = ২ × ৪১ = ৮২ মিটার।
(উদ্দীপক: একটি আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ৮০ মিটার ও ৬০ মিটার। জমির ভিতর ৪ মিটার চওড়া পাড় ও ৩ মিটার গভীরতাবিশিষ্ট একটি পুকুর খনন করা হলো। একটি পানির মোটর দ্বারা প্রতি সেকেন্ডে ০.১ ঘনমিটার পানি শূন্য করা যায়।)
সৃজনশীল প্রশ্ন ৬ এর সমাধান
(ক) পুকুরের গভীরতা ইঞ্চিতে প্রকাশ করো।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
পুকুরের গভীরতা = ৩ মিটার।
আমরা জানি, ১ মিটার = ৩৯.৩৭ ইঞ্চি (প্রায়)।
∴ ৩ মিটার = ৩ × ৩৯.৩৭ ইঞ্চি
= ১১৮.১১ ইঞ্চি (প্রায়)।
উত্তর: ১১৮.১১ ইঞ্চি (প্রায়)।
(খ) পুকুর পাড়ের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
জমির দৈর্ঘ্য = ৮০ মিটার
জমির প্রস্থ = ৬০ মিটার
∴ জমির (পাড়সহ পুকুরের) ক্ষেত্রফল = ৮০ × ৬০ = ৪৮০০ বর্গমিটার।
পুকুর পাড়ের বিস্তার ৪ মিটার (জমির ভিতরে)।
∴ পুকুরের দৈর্ঘ্য (পাড় বাদে) = ৮০ - (৪ × ২) = ৮০ - ৮ = ৭২ মিটার।
∴ পুকুরের প্রস্থ (পাড় বাদে) = ৬০ - (৪ × ২) = ৬০ - ৮ = ৫২ মিটার।
(গ) পানিপূর্ণ পুকুরটি পানি শূন্য করতে কত সময় প্রয়োজন?
সমাধান:
পানি শূন্য করার জন্য আমাদের পুকুরে থাকা পানির মোট আয়তন বের করতে হবে।
'খ' হতে পাই,
পুকুরের দৈর্ঘ্য = ৭২ মিটার এবং প্রস্থ = ৫২ মিটার।
দেওয়া আছে, গভীরতা = ৩ মিটার।
ধাপ-১: পানির আয়তন নির্ণয়
পুকুরের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা
= ৭২ × ৫২ × ৩
= ৩৭৪৪ × ৩ (ক্ষেত্রফল × গভীরতা)
= ১১২৩২ ঘনমিটার।
অর্থাৎ, পুকুরে ১১২৩২ ঘনমিটার পানি আছে।
ধাপ-২: সময় নির্ণয়
মেশিনটি ০.১ ঘনমিটার পানি সেচে ১ সেকেন্ডে।
∴ ১ ঘনমিটার পানি সেচতে সময় লাগে = ১ ÷ ০.১ সেকেন্ড
∴ ১১২৩২ ঘনমিটার পানি সেচতে সময় লাগে = (১১২৩২ × ১) ÷ ০.১ সেকেন্ড
= ১১২৩২০ সেকেন্ড।
ধাপ-৩: ঘণ্টায় রূপান্তর
আমরা জানি, ৩৬০০ সেকেন্ড = ১ ঘণ্টা।
∴ সময় = ১১২৩২০ ÷ ৩৬০০ ঘণ্টা
= ৩১.২ ঘণ্টা।
দশমিক অংশকে মিনিটে নেওয়া যাক:
০.২ ঘণ্টা = ০.২ × ৬০ মিনিট = ১২ মিনিট।
∴ মোট সময় = ৩১ ঘণ্টা ১২ মিনিট।
উত্তর: ৩১ ঘণ্টা ১২ মিনিট সময় লাগবে।
সৃজনশীল প্রশ্ন ৭ এর সমাধান
(উদ্দীপক: আয়তাকার একটি স্কুল ক্যাম্পাসের ক্ষেত্রফল ১০ একর এবং এর দৈর্ঘ্য প্রন্থের ৪ গুণ।
ক্যাম্পাসে অবস্থিত অডিটোরিয়ামের ভেতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে ৪০ মিটার, ৩৫ মিটার ও ১০ মিটার এবং দেয়ালের পুরুত্ব ১৫ সে.মি.।)
(ক) ক্যাম্পাস এলাকা কত হেক্টর?
সমাধান:
দেওয়া আছে, ক্যাম্পাসের ক্ষেত্রফল ১০ একর।
আমরা জানি,
১ একর = ৪০৪৬.৮৬ বর্গমিটার।
∴ ১০ একর = ১০ × ৪০৪৬.৮৬ = ৪০৪৬৮.৬ বর্গমিটার।
সমাধান:
দেয়ালের আয়তন বের করতে হলে বাইরের আয়তন ও ভেতরের ফাঁকা অংশের আয়তনের পার্থক্য বের করতে হবে না; বরং দেয়ালের তলার ক্ষেত্রফল × উচ্চতা দিয়ে বের করা সহজ।
ধাপ-১: একক রূপান্তর ও বাইরের পরিমাপ নির্ণয়
দেয়ালের পুরুত্ব = ১৫ সে.মি. = ০.১৫ মিটার।
দেওয়া আছে,
ভেতরের দৈর্ঘ্য = ৪০ মি.
ভেতরের প্রস্থ = ৩৫ মি.
উচ্চতা = ১০ মি.।
যেহেতু দেয়াল বাইরে অবস্থিত, তাই বাইরের মাপে পুরুত্ব দুই পাশে যোগ হবে:
বাইরের দৈর্ঘ্য = ৪০ + (২ × ০.১৫) = ৪০ + ০.৩০ = ৪০.৩ মিটার।
বাইরের প্রস্থ = ৩৫ + (২ × ০.১৫) = ৩৫ + ০.৩০ = ৩৫.৩ মিটার।
∴ শুধু দেয়াল দ্বারা অধিকৃত ভূমির ক্ষেত্রফল = ১৪২২.৫৯ - ১৪০০ = ২২.৫৯ বর্গমিটার।
ধাপ-৩: চার দেয়ালের আয়তন নির্ণয়
দেয়ালের আয়তন = ভূমিতে দেয়ালের ক্ষেত্রফল × উচ্চতা
= ২২.৫৯ × ১০
= ২২৫.৯ ঘনমিটার।
উত্তর: চার দেয়ালের আয়তন ২২৫.৯ ঘনমিটার।
সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন (৮) এর সমাধান
৮. (ক) কোনো বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ৬০০ সেন্টিমিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল বর্গমিটারে নির্ণয় করো।
বিস্তারিত ব্যাখ্যা ও সমাধান:
প্রশ্নে বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে 'সেন্টিমিটারে', কিন্তু উত্তর চেয়েছে 'বর্গমিটারে'। তাই প্রথমেই সেন্টিমিটারকে মিটারে রূপান্তর করতে হবে।
ধাপ-১: সেন্টিমিটারকে মিটারে রূপান্তর
আমরা জানি, ১০০ সেন্টিমিটার = ১ মিটার।
∴ ৬০০ সেন্টিমিটার = ৬০০ ÷ ১০০ মিটার
= ৬ মিটার।
ধাপ-২: ক্ষেত্রফল নির্ণয়
আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (এক বাহুর দৈর্ঘ্য)২
= (৬)২ বর্গমিটার
= ৬ × ৬ বর্গমিটার
= ৩৬ বর্গমিটার।
উত্তর: বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৩৬ বর্গমিটার।
৮. (খ) একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ৪ মিটার বেশি এবং পরিসীমা ৩২ মিটার হলে, ঘরের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
বিস্তারিত ব্যাখ্যা ও সমাধান:
এখানে দৈর্ঘ্য সরাসরি দেওয়া নেই, কিন্তু বলা আছে তা প্রস্থের চেয়ে ৪ মিটার বড়। তাই প্রস্থকে অজানা রাশি 'ক' ধরে সমাধান করতে হবে।
ধাপ-১: চলক ধরা
মনে করি, ঘরটির প্রস্থ = ক মিটার।
যেহেতু দৈর্ঘ্য ৪ মিটার বেশি, তাই দৈর্ঘ্য = (ক + ৪) মিটার।
ধাপ-২: সমীকরণ গঠন ও সমাধান
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
প্রশ্নমতে,
২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ৩২
বা, ২(ক + ৪ + ক) = ৩২ (মান বসিয়ে)
বা, ২(২ক + ৪) = ৩২ (ব্র্যাকেটের ভিতরে যোগ করে)
বা, ২ক + ৪ = ৩২ ÷ ২ (বাম পাশের ২ গুণ অবস্থায় ছিল, তাই ডান পাশে ভাগ হলো)
বা, ২ক + ৪ = ১৬
বা, ২ক = ১৬ - ৪ (প্লাস ৪ ডান পাশে মাইনাস হলো)
বা, ২ক = ১২
বা, ক = ১২ ÷ ২
∴ ক = ৬
ধাপ-৩: দৈর্ঘ্য বের করা
আমরা প্রস্থ পেয়েছি ৬ মিটার।
∴ দৈর্ঘ্য = ৬ + ৪ = ১০ মিটার।
উত্তর: ঘরটির দৈর্ঘ্য ১০ মিটার।
৮. (গ) কবিতাদের বাড়ির পানির ট্যাংকে ৮০০০ লিটার পানি ধরে। ট্যাংকটির আয়তন ঘনমিটারে নির্ণয় করো।
বিস্তারিত ব্যাখ্যা ও সমাধান:
এই অংকে 'লিটার' থেকে 'ঘনমিটারে' যাওয়ার সূত্রটি জানলেই খুব সহজে সমাধান করা যায়।
ধাপ-১: সূত্র প্রয়োগ
আমরা জানি,
১০০০ লিটার = ১ ঘনমিটার
∴ ১ লিটার = ১ ÷ ১০০০ ঘনমিটার
∴ ৮০০০ লিটার = ৮০০০ ÷ ১০০০ ঘনমিটার
= ৮ ঘনমিটার।
উত্তর: ট্যাংকটির আয়তন ৮ ঘনমিটার।
৮. (ঘ) একটি আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৮৪০ বর্গমিটার এবং দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার হলে, বাগানের প্রস্থ নির্ণয় করো।
বিস্তারিত ব্যাখ্যা ও সমাধান:
ক্ষেত্রফল এবং দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে প্রস্থ বের করার জন্য ভাগ করলেই হয়।
ধাপ-১: সূত্র ও মান বসানো
দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = ৮৪০ বর্গমিটার
দৈর্ঘ্য = ৪০ মিটার
আমরা জানি,
প্রস্থ = ক্ষেত্রফল ÷ দৈর্ঘ্য
= ৮৪০ ÷ ৪০ মিটার
= ৮৪ ÷ ৪ (উভয় পাশ থেকে শূন্য বাদ দিয়ে)
= ২১ মিটার।
উত্তর: বাগানের প্রস্থ ২১ মিটার।
প্রশ্ন ঙ: আয়তাকার একটি ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ২.৫ গুণ এবং ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ১৬০ বর্গমিটার হলে, ক্ষেত্রটির প্রস্থ নির্ণয় করো।
সমাধান
এখানে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সম্পর্ক দেওয়া আছে, কিন্তু নির্দিষ্ট মান দেওয়া নেই। তাই 'ক' ধরে সমাধান করতে হবে।
ধাপ-১: চলক ধরা
মনে করি,
ক্ষেত্রটির প্রস্থ = ক মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ২.৫ × ক = ২.৫ক মিটার
ধাপ-২: ক্ষেত্রফলের সমীকরণ গঠন
আমরা জানি, ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
প্রশ্নমতে,
২.৫ক × ক = ১৬০
বা, ২.৫ক২ = ১৬০
বা, ক২ = ১৬০ ÷ ২.৫ (২.৫ গুণ ছিল, তাই ভাগ হলো)
ধাপ-৩: দশমিকের ভাগ সহজীকরণ
বা, ক২ = ১৬০০ ÷ ২৫ (লব ও হরকে ১০ দিয়ে গুণ করে দশমিক উঠিয়ে দিলাম)
বা, ক২ = ৬৪ (২৫ দিয়ে ১৬০০ কে ভাগ করলে ৬৪ হয়)
বা, ক = √৬৪ (স্কয়ার রুট বা বর্গমূল করে)
∴ ক = ৮
ধাপ-৪: ফলাফল
যেহেতু আমরা প্রস্থকে 'ক' ধরেছিলাম।
∴ প্রস্থ = ৮ মিটার।
